Compunere de functii masurabile = functie nemasurabila

[Alin Galatan]

Dati exemplu de doua functii masurabile, a caror compunere nu mai ramane masurabila.

[Dragos Fratila]

Nu cred ca sunt.
Daca \( f \) si \( g \) sunt functii masurabile atunci, daca M e multime masurabila => \( g^{-1}(M) \) e masurabila =>\( f^{-1}(g^{-1}(M)) \)e masurabila, adica \( (fg)^{-1}(M) \) e masurabila.
Deci functia \( fg \) e masurabila.

[Iulian Cimpean]

Hmm...in general compunerea a doua functii masurabile nu e masurabila! O functie masurabila intoarce o boreliana in masurabila, dar cealalta functie care o compune pe prima nu intoarce masurabila in masurabila.

[Alexandru Chirvasitu]

Am aratat aici (corect, sper ) ca mai mult, orice functie de la intervalul unitate la el insusi e compunere de functii masurabile.

In general, o functie de la un spatiu masurabil \( (X,\mathcal A) \) la un altul \( (Y,\mathcal B) \) se numeste masurabila daca intoarce membrii \( \sigma \)-algebrei \( \mathcal B \) in membri ai \( \sigma \)-algebrei \( \mathcal A \). Confuzia provine din faptul ca functiile definite pe \( \mathbb R \) si cu valori reale, sa zicem, se numesc masurabile daca sunt masurabile in sensul de mai sus, dar pentru \( \sigma \) algebre diferite pe cei doi \( \mathbb R \): pe domeniu se considera algebra tuturor multimilor masurabile Lebesgue, iar pe codomeniu se ia algebra mai mica a multimilor Borel (intoarce boreliene in masurabile cu alte cuvinte, cum a spus si Iulian).