Triunghi echilateral, piramida triunghiulara regula, cub

[Claudiu Mindrila]

Consideram un cub cu muchia de lungime \( \sqrt{47} \).

a) Sa se arate ca in interiorul cubului exista cel putin trei puncte \( M,N,P \) astfel incat \( MN=NP=PM=\sqrt{53} \).
b) Fie \( ABC \) un triunghi echilateral de latura \( AB=\sqrt{53} \) situat in interiorul cubului. Sa se arate ca exista un punct \( K \) in exteriorul cubului astfel incat piramida \( ABCK \) sa aiba toate muchiile de lungimi egale.

Dumitru Barac, concursul "Gh. Lazar", 2009