Poligon convex, punct de minim
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
Poligon convex, punct de minim
Fie un poligon convex \( A_1A_2..A_n \) si ptr fiecare punct \( M \) din planul sau notam \( S(M)=MA_1+MA_2+..+MA_n. \) Aratati ca suma e minima ptr un punct \( T \) din interiorul poligonului, ai \( \angle A_1TA_2=..=\angle A_nTA_1=\frac{2\pi}{n} \).
S.S.
-
mihai miculita
- Pitagora
- Posts: 93
- Joined: Mon Nov 12, 2007 7:51 pm
- Location: Oradea, Romania
\( (P): \ \angle{A_1TA_2}=\angle{A_2TA_3}=\dots=\angle{A_nTA_1}=\frac{2\pi}{n}\Leftrightarrow \frac{\vec{TA_1}}{|TA_1|}+\frac{\vec{TA_1}}{|TA_1|}+\frac{\vec{TA_2}}{|TA_2|}+\dots+\frac{\vec{TA_n}}{|TA_n|}=\vec{0}\Rightarrow\\
|MA_1|+|MA_2|+\dots+|MA_n|= \)
\( \frac{|MA_1|.|TA_1|}{|TA_1|}+\frac{|MA_2|.|TA_2|}{|TA_2|}+\dots+\frac{|MA_n|.|TA_n|}{|TA_n|}\ge \)
\( \frac{\vec{MA_1}.\vec{TA_1}}{|TA_1|}+\frac{\vec{MA_2}.\vec{TA_2}}{|TA_2|}+\dots\frac{\vec{MA_n}.\vec{TA_n}}{|TA_n|}=\\
\frac{(\vec{MT}+\vec{TA_1}).\vec{TA_1}}{|TA_1|}+\frac{(\vec{MT}+\vec{TA_2}).\vec{TA_2}}{|TA_2|}+\dots+\frac{(\vec{MT}+\vec{TA_n}).\vec{TA_n}}{|TA_n|}=\\
\vec{MT}.\left(\frac{\vec{TA_1}}{|TA_1|}+\frac{\vec{TA_1}}{|TA_1|}+\frac{\vec{TA_2}}{|TA_2|}+\dots+\frac{\vec{TA_n}}{|TA_n|}\right)+|TA_1|+|TA_2|+\dots+|TA_n|= \)
\( |TA_1|+|TA_2|+\dots+|TA_n|\Rightarrow\\
|MA_1|+|MA_2|+\dots+|MA_n|\ge|TA_1|+|TA_2|+\dots+|TA_n|.
\)
\( \mbox{OBSERVATIE: In mog analog se poate demonstra ca intr-un tetraedru } A_1A_2A_3A_4 \mbox{ punctul T (punctul lui Torricelli),}\\
\mbox{avand proprietatea: } \angle{A_iTA_j}=\angle{A_hTA_k};\ \{i;j;h;k\}=\{1;2;3;4\} \mbox{, este punctul a carui suma a distantelor la varfurile tetraedrului este minima.} \)
(v. in acest sens, articolul meu din rev. MINUS, nr.2/2008. Revista poate fi procurata de aici: http://www.freewebs.com/revistaminus/numarul22008ii.htm)
|MA_1|+|MA_2|+\dots+|MA_n|= \)
\( \frac{|MA_1|.|TA_1|}{|TA_1|}+\frac{|MA_2|.|TA_2|}{|TA_2|}+\dots+\frac{|MA_n|.|TA_n|}{|TA_n|}\ge \)
\( \frac{\vec{MA_1}.\vec{TA_1}}{|TA_1|}+\frac{\vec{MA_2}.\vec{TA_2}}{|TA_2|}+\dots\frac{\vec{MA_n}.\vec{TA_n}}{|TA_n|}=\\
\frac{(\vec{MT}+\vec{TA_1}).\vec{TA_1}}{|TA_1|}+\frac{(\vec{MT}+\vec{TA_2}).\vec{TA_2}}{|TA_2|}+\dots+\frac{(\vec{MT}+\vec{TA_n}).\vec{TA_n}}{|TA_n|}=\\
\vec{MT}.\left(\frac{\vec{TA_1}}{|TA_1|}+\frac{\vec{TA_1}}{|TA_1|}+\frac{\vec{TA_2}}{|TA_2|}+\dots+\frac{\vec{TA_n}}{|TA_n|}\right)+|TA_1|+|TA_2|+\dots+|TA_n|= \)
\( |TA_1|+|TA_2|+\dots+|TA_n|\Rightarrow\\
|MA_1|+|MA_2|+\dots+|MA_n|\ge|TA_1|+|TA_2|+\dots+|TA_n|.
\)
\( \mbox{OBSERVATIE: In mog analog se poate demonstra ca intr-un tetraedru } A_1A_2A_3A_4 \mbox{ punctul T (punctul lui Torricelli),}\\
\mbox{avand proprietatea: } \angle{A_iTA_j}=\angle{A_hTA_k};\ \{i;j;h;k\}=\{1;2;3;4\} \mbox{, este punctul a carui suma a distantelor la varfurile tetraedrului este minima.} \)
(v. in acest sens, articolul meu din rev. MINUS, nr.2/2008. Revista poate fi procurata de aici: http://www.freewebs.com/revistaminus/numarul22008ii.htm)
Last edited by mihai miculita on Thu Mar 19, 2009 9:08 pm, edited 1 time in total.
-
mihai miculita
- Pitagora
- Posts: 93
- Joined: Mon Nov 12, 2007 7:51 pm
- Location: Oradea, Romania
\( \mbox{As mai face urmatoarele observatii: \\
1) Intr-un patrulater convex punctul care realizeaza minimul sumei este punctul de intersectie al diagonalelor.\\
2) De altfel, in cazul patrulaterului convex, existenta punctului T este echivalenta cu afirmatia urmatoare:\\
"Cercurile avand drept diametre laturile [AB], [BC], CD] si [DA] ale patrulaterului convex ABCD,\\
au un punct comun; punctul T, avand proprietatea: }\\
\angle {ATB}=\angle{BTC}=\angle{CTD}=\angle{DTA}=\frac{\pi}{2}\mbox{". (un astfel de punct, in general, NU EXISTA!)}\\
\mbox{3) Asa ca, problema anterioara trebuie sa fie reformulata, astfel: \\
In cazul in care in planul poligonului convex A_1A_2\dots A_n, exista un punct T cu proprietatea (P), atunci avem: }\\
|TA_1|+|TA_2|+\dots+|TA_n|\le |MA_1|+|MA_2|+\dots+|MA_n|; (\forall) M. \)
1) Intr-un patrulater convex punctul care realizeaza minimul sumei este punctul de intersectie al diagonalelor.\\
2) De altfel, in cazul patrulaterului convex, existenta punctului T este echivalenta cu afirmatia urmatoare:\\
"Cercurile avand drept diametre laturile [AB], [BC], CD] si [DA] ale patrulaterului convex ABCD,\\
au un punct comun; punctul T, avand proprietatea: }\\
\angle {ATB}=\angle{BTC}=\angle{CTD}=\angle{DTA}=\frac{\pi}{2}\mbox{". (un astfel de punct, in general, NU EXISTA!)}\\
\mbox{3) Asa ca, problema anterioara trebuie sa fie reformulata, astfel: \\
In cazul in care in planul poligonului convex A_1A_2\dots A_n, exista un punct T cu proprietatea (P), atunci avem: }\\
|TA_1|+|TA_2|+\dots+|TA_n|\le |MA_1|+|MA_2|+\dots+|MA_n|; (\forall) M. \)