Sir subaditiv (clasica)

[Marius Mainea]

Daca \( (x_n)_{n\ge 1} \) este un sir cu proprietatea ca \( x_{m+n}\le x_m+x_n \) pentru orice m, n naturale nenule, atunci \( \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{n} \) exista si este egala cu \( \inf\{\frac{x_n}{n}|n\in\mathbb{N}^{\ast}\} \).

[Laurentiu Tucaa]

Dupa ceva munca am rezolvat problema si cred ca e bine.

Prin inductie se demonstreaza simplu ca \( \forall n\in\mathbb{N} \) si \( \forall k\in\mathbb{N} \) avem \( x_{kn}\le kx_n \).
Fie acum \( R_m=max\{x_r |1 \le r < m} \) avem \( \forall r\in\[1,r-1],\forall k\in\mathbb{N} \) si \( n=km+r, x_n=x_{km+r}\le x_{km}+x_r\le x_{km}+R_m\le kx_m+R_m \) =>
\( \frac{x_n}{n}\le \frac{kx_m}{n}+\frac{R_m}{n} \) ceea ce este echivalent cu \( \frac{x_n}{n}\le \frac{kmx_m}{nm}+\frac{R_m}{n} \).
Acum pt k suficient de mare \( k->\infty \) avem:
\( \lim_{n\to\infty} sup \frac{x_n}{n} \le \frac{x_m}{m},\forall m\in\mathbb{N} \) si de aici deducem foarte simplu ca \( \lim_{n\to\infty} sup \frac {x_n}{n} \le \inf_{m\in\mathbb{N}} \frac {x_m}{m} \).
Dar \( \frac{x_n}{n} \ge \inf_{m\in\mathbb{N}} \frac {x_m}{m},\forall n\in\mathbb{N} \) si de aici \( \lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{n}=\inf_{m\in\mathbb{N}} \frac {x_m}{m} \).