Geometrie triunghi

[Al3xx]

Fie un triunghi ascutitunghic \( ABC \) si \( D \in [BC] \) variabil. Notam cu \( E, F \) picioarele perpendicularelor din \( D \) pe \( AB \), respectiv pe \( AC \).
1) Aratati ca \( \frac{4S^2}{b^2+c^2} \le DE^2 + DF^2 \le \max\{{h_B}^2;{h_C}^2\}. \)
2) Demonstrati ca daca \( D_0 \in [BC] \) este punctul in care se realizeaza minimul sumei \( DE^2 + DF^2 \), atunci \( D_0 \) este piciorul simetricei medianei din \( A \) fata de bisectoarea unghiului \( A \).
(\( S \) este aria triunghiului \( ABC \), \( h_B, h_C \) lungimile inaltimilor din B respectiv C.)

[Virgil Nicula]

Fie \( \triangle ABC \) ascutitunghic. Pentru un punct mobil \( D \in [BC] \) notam \( \left\|\ \begin{array}{ccc}
E\in AB & , & DE\perp AB\\\\\\\\
F\in AC & , & DF\perp AC\end{array}\right\| \) .

Aratati ca \( \frac{4S^2}{b^2+c^2}\ \le\ DE^2 + DF^2\ \le\ \max\left\{h_b^2\ ,\ h_c^2\right\} \) si punctul de minim este piciorul \( A \)- simedianei.

Remarca. Aceasta problema apare si in cartea (mea) Geometrie plana ... , Ed. GIL, 2002. - problema 3.7/pag. 26.

Dem. Se observa ca \( c\cdot DE+b\cdot DF=2S \) . Aplicam inegalitatea C.B.S. : \( 4S^2=\left(c\cdot DE+b\cdot DF\right)^2\le \left(c^2+b^2\right)\left(DE^2+DF^2\right) \) .

Asadar, \( \frac{4S^2}{b^2+c^2}\ \le\ DE^2 + DF^2 \) cu egalitate daca si numai daca \( \frac {DE}{c}=\frac {DF}{b} \Longleftrightarrow \frac {c\cdot DE}{c^2}=\frac {b\cdot DF}{b^2}\Longleftrightarrow \frac {[ADB]}{c^2}=\frac {[ADC]}{b^2}\Longleftrightarrow \)

\( \frac {DB}{c^2}=\frac {DC}{b^2} \) , ceea ce inseamna ca semidreapta \( [AD \) este \( A \)-simediana triunghiului \( ABC \) . Se arata usor ca

\( DE^2+DF^2 \) este maxim \( \Longrightarrow \) \( D\in \{B\ ,\ C\}\Longleftrightarrow \) \( DE^2 + DF^2\ \le\ \max\left\{h_b^2\ ,\ h_c^2\right\} \) (singura "noutate" !).

Remarca. In cartea mentionata apare in concluzie si inegalitate \( [DEF]\le \frac {S\cdot\sin^2A}{4} \) cu egalitate daca si numai daca punctul \( D \)

este mijlocul laturii \( [BC] \) . Intr-adevar, \( [DEF]=\frac {DE\cdot DF\cdot\sin A}{2} \) este maxim \( \Longleftrightarrow \) \( DE\cdot DF \) este maxim \( \Longleftrightarrow \)

\( (c\cdot DE)(b\cdot DF) \) este maxim. Insa \( c\cdot DE+b\cdot DF=2S \) (constant). In concluzie, \( [DEF] \) este maxim \( \Longleftrightarrow \)

\( c\cdot DE=b\cdot DF=S \) \( \Longleftrightarrow DB=DC \) si in acest caz \( [DEF]=\frac {S\cdot\sin^2A}{4} . \)

Iata o problema similara din aceeasi carte mentionata mai sus (problema 3.6/pagina 26) :

Fie \( \triangle ABC \) . Pentru un punct mobil \( D \in [BC] \) notam \( \left\|\ \begin{array}{ccc}
E\in AB & , & DE\parallel AC\\\\\\\\
F\in AC & , & DF\parallel AC\end{array}\right\| \) . Aratati ca

\( 1.\ \odot\ \ \frac{b^2c^2}{b^2+c^2}\ \le\ DE^2 + DF^2\ \le\ \max\left\{b^2\ ,\ c^2\right\} \) si punctul de minim este piciorul \( A \)- simedianei.

\( 2.\ \odot\ \ \)Sa se determine pozitia punctului \( D\in [BC] \) pentru care lungimea segmentului \( [EF] \) este minima.

\( 3.\ \odot\ \ \) Sa se deduca inegalitatile \( \frac {a^2+b^2+c^2}{2R}\ \le\ m_a+m_b+m_c\ \le\ \frac 32\cdot\sqrt {a^2+b^2+c^2}\ \le\ \frac {9R}{2} \) ,

unde \( m_a \) este lungimea \( A \)-medianei etc si \( R \) este lungimea razei cercului circumscris triunghiului \( ABC \) .