Test pentru classe preparatoire, 2008, problema 8

[red_dog]

Fie \( d \) un întreg mai mare sau egal cu 1 şi \( P(x)=x^d+a_{d-1}x^{d-1}+\ldots+a_0 \) un polinom cu coeficienţi complecşi.
a) Fie \( r \) un număr real strict pozitiv astfel încât \( r^d\geq |a_{d-1}|r^{d-1}+\ldots+|a_0| \).
Demonstraţi că orice rădăcină complexă \( z \) a lui \( P \) verifică \( |z|\leq r \)

b) Demonstraţi că orice rădăcină complexă \( z \) a lui \( P \) verifică \( |z|\leq \max_{1\leq k\leq d}(d|a_{d-k}|)^{\frac{1}{k} \).