OLM Prahova 24.01.2009

[Al3xx]

1. a) Demonstrati ca daca produsul a doua numere pozitive este constant,atunci suma lor este minima cand numerele sunt egale.
b) Formati o progresie aritmetica cu \( n \) termeni pozitivi stiind ca produsul dintre primul termen si ratie este \( a \) iar suma celor \( n \) termeni ai progresiei este minima.

***

2. Sa se rezolve sistemul :

a[a] + c{c} - {b} = 0,16
4b + 4a{a} - 4[c]{c} = 1
c[c] + b{b} - [a]{a} = 0,49

unde [x], {x} reprezinta partea intreaga respectiv partea fractionara a numarului real x.

Prof. Gabriel Necula, Plopeni

3. Fie triunghiul \( ABC \) si punctele \( D \), piciorul bisectoarei din \( A \), \( I_1 \) si \( I_2 \), centrele cercurilor inscrise in triunghiurile \( ABD \), respectiv \( ACD \). Se stie ca \( BC = 12,\ AD=8 \) si \( I_1I_2\parallel BC . \)
a) Demonstrati ca \( AB=AC \).
b) Daca \( \vec{AI_1} = \vec{u} \) si \( \vec{AI_2} = \vec{v} \) , exprimati \( \vec{AB} \) si \( \vec{AC} \) in functie de \( \vec{u} \) si \( \vec{v} \).

Prof. Claudiu Militaru, Ploiesti

4. In triunghiul ABC se considera punctele \( D,\ E,\ F \), mijloacele laturilor \( AB,\ BC,\ AC \) si \( M \in (BE),\ N \in (CE) \).
Aratati ca \( AE,\ DM,\ FN \) sunt concurente daca si numai daca \( \frac{BM}{ME} = \frac {CN}{NE} \neq 1 \).

Prof. Ion Nedelcu, Ploiesti