Recurenta simpla

[Filip Chindea]

Fie sirul \( (y_n)_n \) definit prin \( y_{n+1} = 2y_n + \sqrt{3y_n^2 - 2} \), \( y_0 = 1 \).
(a) Sa se arate ca sirul este strict crescator.
(b) Sa se arate ca \( (y_n) \subset \mathbb{N} \).

[ OLM 2008 Bucuresti, Problema 1 ]

[Beniamin Bogosel]

Pentru a) o inductie simpla arata ca toti termenii sirului sunt pozitivi, de unde rezulta ca \( y_{n+1}-y_n>0 \). Evident, radicalul n-are cum sa fie 0.

Pentru b) lasam radicalul singur in dreapta si ridicam la patrat. Atunci rezulta ca \( y_{n+1}^2-4y_{n+1}y_n+y_n^2=-2 \). Relatia fiind adevarata pentru orice \( n \), o scriem pentru \( n,n-1 \) si le scadem. Rezulta \( (y_{n+1}-y_{n-1})(y_{n+1}-4y_n+y_{n-1})=0 \). Din a) rezulta ca prima paranteza nu poate fi 0, deci a doua paranteza e 0 tot timpul, adica reprezinta o recurenta de ordinul 2 cu primii doi termeni 1 si 3 numere intregi si coeficientii numere intregi. Deci toti termenii sirului sunt intregi. Sirul fiind crescator si primul termen pozitiv, rezulta ca toti termenii sunt naturali.