Fie p un numar prim si \( a\ge 2 \) un numar natural. Sa se demonstreze ca numarul \( \varphi(a^p+1) \) se divide cu p.
C Mortici, Concursul N.Coculescu, 2007
Numar prim care divide o valoare a indicatorului lui Euler
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
\( \mathbb{Z}_{a^p+1} =\{\widehat{0},\widehat{1},....\widehat{a^2-1},...\widehat{a^p-1},\widehat{a^p}\} \) inel.
\( a^{2p}-1=(a^p-1)(a^p+1) \Rightarrow\widehat{a^{2p}-1} =\widehat{0} \)
Avem \( \hat{a^{2p}}=1, \) de unde rezulta \( \hat a \) inversabil si \( ord(\hat a)\in\{2,p,2p\} \).
Ordinul lui \( \hat a \) nu poate sa fie 2 sau p, deoarece \( \widehat{a^2-1}\neq 0 \ {\mbox si } \widehat{a^p-1}\neq0 \Rightarrow ord(\hat a)=2p. \)
Dar \( \hat a \in U(\mathbb{Z}_{a^p+1}) \Rightarrow ord(\hat a)\ | \ \ |U(\mathbb{Z}_{a^p+1})| \ \Rightarrow 2p\ |\ \varphi(a^p+1) \).
\( a^{2p}-1=(a^p-1)(a^p+1) \Rightarrow\widehat{a^{2p}-1} =\widehat{0} \)
Avem \( \hat{a^{2p}}=1, \) de unde rezulta \( \hat a \) inversabil si \( ord(\hat a)\in\{2,p,2p\} \).
Ordinul lui \( \hat a \) nu poate sa fie 2 sau p, deoarece \( \widehat{a^2-1}\neq 0 \ {\mbox si } \widehat{a^p-1}\neq0 \Rightarrow ord(\hat a)=2p. \)
Dar \( \hat a \in U(\mathbb{Z}_{a^p+1}) \Rightarrow ord(\hat a)\ | \ \ |U(\mathbb{Z}_{a^p+1})| \ \Rightarrow 2p\ |\ \varphi(a^p+1) \).