Functie polinomiala de doua variabile

[bae]

Fie \( P:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) o functie polinomiala. Aratati ca daca functia se anuleaza intr-un numar finit de puncte, atunci are semn constant.

Baraj 1974

[Beniamin Bogosel]

Frumoasa problema... Desi pare complicata, nu foloseste decat chestiuni elementare de analiza.

Fie \( A_1(x_1,y_1),...,A_n(x_n,y_n) \) punctele in care functia polinomiala data se anuleaza. Pentru doua puncte din plan \( C(a,b),\ D(c,d) \) si care nu se afla pe niciuna dintre dreptele paralele cu axele de coordonate care trec prin punctele \( A_k \), vom demonstra ca functia are acelasi semn pentru \( C \) si \( D \).

Fie \( g(y)=P(a,y) \) si \( h(x)=P(x,d) \). Deoarece \( P \) nu se anuleaza in afara de punctele \( A_k \) rezulta ca \( g,\ h \) sunt functii polinomiale, deci continue, care nu se anuleaza pe \( [b,d] \), respectiv \( [a,c] \) (am presupus implicit ca \( b\leq d,\ a \leq c \)).

Deci \( g(b)=P(a,b) \) are acelasi semn cu \( g(d)=P(a,d)=h(a) \) care la randul sau are acelasi semn cu \( h(c)=P(c,d) \). Deci \( P \) ia acelasi semn pentru \( (a,b) \) si \( (c,d) \). Punctele \( C,\ D \) au fost alese arbitrar, rezulta ca \( P \) pastreaza semn constant pe \( \mathbb{R}^2 \) mai putin dreptele care trec prin unul din \( A_k \) si sunt paralele cu axele. Deoarece numarul acestor drepte este finit rezulta ca fiecare punct de pe aceste drepte este limita unor puncte care nu apartin niciuneia dintre aceste drepte si cum \( P \) este functie continua rezulta ca valorile lui \( P \) pe fiecare din aceste drepte au acelasi semn ca si valorile care nu sunt pe drepte, fiind limite de astfel de valori.

Deci \( P \) pastreaza semn constant pe \( \mathbb{R}^2 \).

Nu am folosit niciunde in mod esential faptul ca \( P \) este functie polinomiala. Cred ca analog se poate demonstra ca orice functie continua \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) care se anuleaza intr-un numar finit de puncte pastreaza semn constant pe \( \mathbb{R}^2 \).