Inegalitate hard

[alex2008]

Fie \( x,y,z \) numere pozitive cu suma \( 1 \) . Demonstrati ca :

\( xy+yz+zx\ge 4(y^2z^2+z^2x^2+x^2y^2)+5xyz \)

Cand are loc egalitatea ?

[Marius Mainea]

Scriem inegalitatea sub forma

\( (xy+yz+zx)(x+y+z)^2\ge 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+5xyz(x+y+z) \)

care dupa desfacerea parantezelor si reducerea termenilor asemenea devine

\( \sum_{sym}{x^3y}\ge \sum_{sym}{x^2y^2} \) care este inegalitatea lui Muirhead pentru tripletele \( (3,1,0)\succ (2,2,0) \)