Inegalitatea cu arii de triunghiuri

[alex2008]

Fiind dat un triunghi scalen alegem un punct oarecare pe una din laturile sale si ducem prin el paralele la celelalte laturi ale triunghiului . Notand cu \( S_1 \) si \( S_2 \) ariile triunghiurilor ce se formeaza prin construirea acestor paralele si cu \( S \) aria triunghiului dat , sa se arate ca este adevarata inegalitatea : \( 2(S_1+S_2)\ge S \) .

[Claudiu Mindrila]

Solutie. Fie \( D \in (BC) \) si \( E \) respectiv \( F \) intersectiile paralelei prin \( D \) la \( AC \) cu \( AB \) respectiv intersectia paralelei prin \( D \) la \( AB \) cu \( AC \). Atunci \( \frac{S_{1}}{S}=\left(\frac{BD}{BC}\right)^{2}\Rightarrow S_{1}=S\cdot\left(\frac{BD}{BC}\right)^{2} \) si \( \frac{S_{2}}{S}=\left(\frac{CD}{BC}\right)^{2}\Rightarrow S_{2}=S\cdot\left(\frac{CD}{BC}\right)^{2} \).
Obtinem ca \( 2\left(S_{1}+S_{2}\right)=S\cdot2\cdot\left[\left(\frac{BD}{BC}\right)^{2}+\left(\frac{CD}{BC}\right)^{2}\right]\geq S\cdot2\cdot\frac{\left(\frac{BD+DC}{BD}\right)^{2}}{2}=S \).
Observatie. Am folosit faptul ca pentru orice \( a,b \in \mathbb{R} \) avem: \( a^2+b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2}. \)