mateforum.ro

Sa se arate ca exista o infinitate de numere irationale x si y cu proprietatea \( x+y=x\cdot y\in\mathbb{N} \).

Cautam numere de forma \( x=a+\sqrt{b}, \ y=a-\sqrt{b} \) cu \( a,b\in\mathbf{Z} \) si b nu e patrat perfect.

Atunci obtinem relatia \( b=a^2-2a \) si pentru \( a\in\mathbf{Z}-\{0,2\} \) b nu este patrat perfect.

Notam \( n=x+y , n\ge5 \Rightarrow y=n-x \) si \( n=x(n-x) \Rightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}(n\pm \sqrt{n^2-4n}) \)
\( n\ge 5 \Rightarrow (n-3)^2<n^2-4n<(n-2)^2 \Rightarrow n^2-4n \) este irational .
Deci \( x=\frac{1}{2}(n+\sqrt{n^2-4n}) \) si \( y=\frac{1}{2}(n-\sqrt{n^2-4n}) \)

red_dog wrote:Cautam numere de forma \( x=a+\sqrt{b}, \ y=a-\sqrt{b} \) cu \( a,b\in\mathbf{Z} \) si b nu e patrat perfect.

De fapt, trebuie ca \( b \in \mathbb{N}^* \), altfel pentru \( b\le 0 \) numarul \( \sqrt{b} \) nu este definit.