Caracterizare multimi neglijabile

[Alin Galatan]

Demonstrati ca o multime \( E\subset\mathbb{R} \) este neglijabila daca si numai daca exista o acoperire cu intervale \( U_n \) astfel ca pentru orice x din E sa avem ca multimile \( \{n|x\in U_n\} \) sa fie infinite si \( \sum_{n=1}^{\infty}\lambda (U_n)<\infty \), unde \( \lambda \) e masura Lebesgue.

[Liviu Paunescu]

Acum daca o multime este de masura \( 0 \), exista acoperiri oricat de mici cu intervale deschise. Adica exista intervale \( \{U_{1n}|n\in\mathbb{N}\} \) cu \( \sum_{n=1}^\infty\lambda(U_{1n})<\frac12 \), exista intervale \( \{U_{2n}|n\in\mathbb{N}\} \) cu \( \sum_{n=1}^\infty\lambda(U_{2n})<\frac14 \) si asa mai departe. Colectia \( \{U_{mn}|n,m\in\mathbb{N}\} \) satisface cerintele problemei.

Reciproc este mult mai interesant. Eu am sa propun o rezolvare cu lema de acoperire Vitali. O gasiti fie in Hewitt si Stromberg impreuna cu demonstratia superba a lui Banach, fie pe wikipedia la "Vitali covering theorem", intr-un enunt mai general si mai complicat. Stiu ca prima solutie pe care am vazut-o la problema asta era fara, dar nu imi amintesc de ea.

Fie deci o multime \( E \) cu o acoperire ca in enunt. Atunci \( \{U_n|n\in\mathbb{N}\} \) formeaza o acoperire Vitali a lui \( E \), adica pentru fiecare \( x\in E \) si fiecare \( \varepsilon>0 \) exista o multime din acoperire astfel incat \( x\in U_n \) si \( \lambda(U_n)<\varepsilon \). Pe scurt, in cuvinte, acoperire Vitali inseamna ca fiecare punct din multime se acopera cu intervale oricat de mici.

Din Lema lui Vitali inseamna ca exista intervale disjuncte \( \{V_{1n}|n\in\mathbb{N}\} \) din acoperire (adica \( V_{1n} \)-urile sunt defapt niste \( U_n \)-uri) astfel incat \( \lambda(E-\cup_nV_{1n})=0 \). Daca notam cu \( a_1=\sum_n\lambda(V_{1n}) \) atunci \( \lambda(E)\leq a_1 \)(nu uitati intervalele \( V_{1n} \) pe care le obtinem din lema lui Vitali sunt disjuncte!).

Cred ca acum ideea este clara. Dam la oparte intervalele \( \{V_{1n}|n\in\mathbb{N}\} \) din acoperirea initiala. Acoperirea ramane Vitali, deoacere fiecare punct era maxim continut intr-o multime \( V_{1n} \). Aplicam din nou lema lui Vitali si obtinem intervalele \( \{V_{2n}|n\in\mathbb{N}\} \) astfel incat \( \lambda(E-\cup_nV_{2n})=0 \). Notam cu \( a_2=\sum_n\lambda(V_{2n}) \) si atunci \( \lambda(E)\leq a_2 \).

Continuam inductiv procedeul si obtinem un sir \( a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots \) pentru care \( \lambda(E)\leq a_i \) pentru orice \( i \) si \( \sum_ia_i\leq\sum_n\lambda(U_n)<\infty \). Atunci \( a_i\to 0 \) si \( \lambda(E)=0 \).

Scriind solutia imi dau seama ca exercitiul acesta este foarte bun pentru a invata enuntul lemei lui Vitali, lema ce apare in locuri mult mai importante decat acesta. Prima implicatie se vede usor, iar a doua, demonstrata in felul acesta, este prima implicatie scrisa de la coada la cap.

[Alin Galatan]

Mai simplu... avem deci o acoperire cu suma masurilor \( <\infty \).
Pt. orice \( \epsilon > 0 \) caracterizam restul cu Cauchy, deci de la un rang seria e mai mica decat \( \epsilon \). Cum in afara raman un numar finit de multimi si multimile \( \{n|x\in U_n\} \) sunt infinite, inseamna ca de fapt si de la acest rang e acoperire a lui E.