Inegalitate simetrica in trei variabile pozitive.
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Inegalitate simetrica in trei variabile pozitive.
Fie numerele pozitive \( x \) , \( y \) , \( z \) . Sa se arate ca \( 7xyz+3\cdot \sqrt {\sum x^2\cdot\sum x^4}\ \ge\ 2(x+y)(y+z)(z+x) \) .
-
maxim bogdan
- Thales
- Posts: 106
- Joined: Tue Aug 19, 2008 1:56 pm
- Location: Botosani
Solutie!
Folosind cunoscuta identitate: \( 3(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3) \) inegalitatea este echivalenta cu:
\( 21xyz+9\sqrt{(\sum_{cyc}x^2)\cdot(\sum_{cyc}x^4)}\geq 2(x+y+z)^3-2(x^3+y^3+z^3). \)
Din inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz obtinem ca:
\( 21xyz+9\sqrt{(\sum_{cyc}x^2)(\sum_{cyc}x^4)}\geq 21xyz+9(x^3+y^3+z^3)\geq 2(x+y+z)^3-2(x^3+y^3+z^3)\Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow 21xyz+11(x^3+y^3+z^3)\geq 2(x+y+z)^3=2(x^3+y^3+z^3)+6\sum_{cyc}ab(a+b)+12xyz \)
\( \Leftrightarrow 9xyz+9(x^3+y^3+z^3)\geq 6\sum_{cyc}ab(a+b) \)
\( \Leftrightarrow (3xyz+x^3+y^3+z^3)+ 2(x^3+y^3+z^3)\geq 2\sum_{cyc}ab(a+b) \)
Din Inegalitatea lui Schur pentru \( r=1 \) avem:
\( 3xyz+x^3+y^3+z^3\geq\sum_{cyc}ab(a+b)\Leftrightarrow \sum_{cyc}a(a-b)(a-c)\geq 0. \)
Mai ramane de demonstrat ca: \( 2(x^3+y^3+z^3)\geq \sum_{cyc}ab(a+b) \) care rezulta imediat din cunoscuta: \( a^3+b^3\geq ab(a+b), (\forall) a,b\in\mathbb{R_{+}}. \)
\( 21xyz+9\sqrt{(\sum_{cyc}x^2)\cdot(\sum_{cyc}x^4)}\geq 2(x+y+z)^3-2(x^3+y^3+z^3). \)
Din inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz obtinem ca:
\( 21xyz+9\sqrt{(\sum_{cyc}x^2)(\sum_{cyc}x^4)}\geq 21xyz+9(x^3+y^3+z^3)\geq 2(x+y+z)^3-2(x^3+y^3+z^3)\Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow 21xyz+11(x^3+y^3+z^3)\geq 2(x+y+z)^3=2(x^3+y^3+z^3)+6\sum_{cyc}ab(a+b)+12xyz \)
\( \Leftrightarrow 9xyz+9(x^3+y^3+z^3)\geq 6\sum_{cyc}ab(a+b) \)
\( \Leftrightarrow (3xyz+x^3+y^3+z^3)+ 2(x^3+y^3+z^3)\geq 2\sum_{cyc}ab(a+b) \)
Din Inegalitatea lui Schur pentru \( r=1 \) avem:
\( 3xyz+x^3+y^3+z^3\geq\sum_{cyc}ab(a+b)\Leftrightarrow \sum_{cyc}a(a-b)(a-c)\geq 0. \)
Mai ramane de demonstrat ca: \( 2(x^3+y^3+z^3)\geq \sum_{cyc}ab(a+b) \) care rezulta imediat din cunoscuta: \( a^3+b^3\geq ab(a+b), (\forall) a,b\in\mathbb{R_{+}}. \)
Feuerbach