Centre de greutate

[alex2008]

Se da un \( \Delta ABC \) cu \( M\in[AB] , N\in[AC] , P\in[BC] \) astfel incat \( \frac{MA}{MB}=\frac{NC}{NA}=\frac{PB}{PC} \) . Sa se arate ca centrul de greutate al \( \Delta MNP \) concide cu centrul de greutate al \( \Delta ABC \) .

[Marius Mainea]

Se da un \( \Delta ABC \) cu \( M\in[AB] , N\in[AC] , P\in[BC] \) Atunci \( \frac{MA}{MB}=\frac{NC}{NA}=\frac{PB}{PC} \) , daca si numai daca centrul de greutate al \( \Delta MNP \) concide cu centrul de greutate al \( \Delta ABC \) .

Teorema lui Pappus

[alex2008]

Bun , inca n-am invatat de ea ... Atunci sa se demonstreze teorema lui Pappus .

[Marius Mainea]

Daca esti clasa a 9-a, o sa o faceti in curand la scoala , sau daca vrei mai repede o gasesti prin manuale ( de exemplu in cel de Burtea sau Ganga)

[Beniamin Bogosel]

Exista o formula: daca \( D \) este pe latura \( BC \) a triunghiului \( ABC \) astfel incat \( \frac{BD}{DC}=t \) atunci \( \vec{AD}=t \vec{AC}+(1-t)\vec{AB} \). O aplici pentru triunghiurile \( GAB,GBC,GCA \) si punctele de pe laturi si tii cont ca rapoartele sunt egale. Atunci obtii ca \( \vec{GM}+\vec{GN}+\vec{GP}=\vec{0} \) adica ce doreai sa demonstrezi.

Se poate demonstra si sintetic, dar e putin mai complicat, trebuie sa faci o constructie ajutatoare...