Un loc geometric.

[Virgil Nicula]

Fie un triunghi \( ABC \) si doua puncte mobile \( M\in [AC] \) , \( N\in [AB] \) astfel incat

\( \frac {MA}{MC}+\frac {NA}{NB}=2 \) . Sa se determine locul geometric al intersectiei \( P\in BM\cap CN \)

si sa se precizeze pozitia punctului \( P \) pentru care suma \( PB+PC \) este minima.

[maxim bogdan]

Notam cu \( \phi \) locul geometric al lui \( P \). Fie \( D=AP\cap BC \). Din Teorema lui Van Aubel obtinem ca:
\( \frac{AP}{PD}=\frac{NA}{NB}+\frac{MA}{MC}=2 \)

\( \Rightarrow P\in d \),unde \( d \) este dreapta care trece prin \( G \)(centrul de greutate al triunghiului \( ABC \)) si este paralela cu \( BC. \)

Fie \( E=d\cap AB \) si \( F=d\cap{AC} \). Deci \( P\in {[EF]}. \) Am demonstrat ca \( \phi\subseteq [EF](*) \).

Acum \( (\foral) P\in[EF] \), \( \exists M\in [AC] \), \( N\in [AB] \)(\( M=BP\cap AC, \)

si \( N=CP\cap AB \)) cu proprietatea ca \( \frac{NA}{NB}+\frac{MA}{MC}=2 \)(este evident acest lucru deoarece acum stim ca:\( 2=\frac{AP}{PD}=\frac{NA}{NB}+\frac{MA}{MC} \)). De aici rezulta ca: \( [EF]\subseteq\phi(**). \)

Din relatiile \( (*) \) si respectiv \( (**) \) ne rezulta imediat faptul ca:

\( \phi=[EF]. \)