Monotonie

[elena_romina]

Rezolvati ecuatia
\( 2^{[\sqrt[3]{x} ]}=x \).

Am observat ca \( x=2 \) este una dintre solutii, dar nu prea stiu cum sa demonstrez ca este si unica. Ati putea sa ma ajutati? Multumesc

[Marius Mainea]

Avem \( x\ge0 \) si notand \( [\sqrt[3]{x}]=k \) avem \( k^3\le x<(k+1)^3 \).
Insa deoarece \( 2^k>(k+1)^3 \) pentru \( k\ge 11 \), natural (inductie), rezulta ca \( k\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \) si apoi se analizeaza fiecare caz in parte.

Exemplu:

k=10 , \( 2^{10}=x\in[10^3,11^3) \) e solutie.

k=9 , \( 2^9=x\notin[9^3,10^3) \)

In final raman k=1 sau k=10, deci \( x=2 \) sau \( x=2^{10}=1024 \).

[elena_romina]

Multumesc foarte mult!!