Cristian Calude, proba pe echipe, R.III, P.II
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
Cristian Calude, proba pe echipe, R.III, P.II
Sa se determine numerele naturale n pentru care \( 8^n-1 \) se divide cu 1205.
-
Mateescu Constantin
- Newton
- Posts: 307
- Joined: Tue Apr 21, 2009 8:17 am
- Location: Pitesti
Se observa ca \( n=0 \) este solutie.
Cum ultima cifra a lui \( 8^n \) poate fi \( 8,\ 4,\ 2,\ 6 \) si \( 1205=5\cdot 241 \), deducem ca \( n=4k,\ k\in\mathbb{N}^{\ast} \)
\( 8^4=4096=17\cdot 241-1\ \Longrightarrow 8^{4k}\equiv (-1)^k(\mbox{mod}\ 241) \)
Din \( 8^{4k}-1\equiv (-1)^k-1(\mbox{mod}\ 241) \), deducem ca este necesar si suficient ca numarul \( k \) sa fie par.
In concluzie \( n=8p,\ p\in\mathbb{N} \).
Cum ultima cifra a lui \( 8^n \) poate fi \( 8,\ 4,\ 2,\ 6 \) si \( 1205=5\cdot 241 \), deducem ca \( n=4k,\ k\in\mathbb{N}^{\ast} \)
\( 8^4=4096=17\cdot 241-1\ \Longrightarrow 8^{4k}\equiv (-1)^k(\mbox{mod}\ 241) \)
Din \( 8^{4k}-1\equiv (-1)^k-1(\mbox{mod}\ 241) \), deducem ca este necesar si suficient ca numarul \( k \) sa fie par.
In concluzie \( n=8p,\ p\in\mathbb{N} \).