Sa se rezolve in multimea numerelor naturale ecuatia:
\( (x^2+y^2+10)\left[ \frac{x}{y}+20 \right] = 1995 \). S-a notat [a]= partea intreaga a numarului real a.
Cristian Calude, proba pe echipe, R.I, P.III
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
\( 1995 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 \)
Astfel avem ca :
\( \left[\frac {x}{y} + 20\right] = 21 \) sau \( \left[\frac {x}{y} + 20\right]\ge 35 \)
Daca \( \left[\frac {x}{y} + 20\right] \ge 35 \), \( x \ge 15y \ge 15 \) \( \Rightarrow LHS > 1995 \) , imposibil .
Daca \( \left[\frac {x}{y} + 20\right] = 21 \) , atunci \( \Leftrightarrow \)
\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 85 \\
2y > x\ge y \end{cases} \)
Deci \( (x,y) = (7,6) \) este singura solutie .
Astfel avem ca :
\( \left[\frac {x}{y} + 20\right] = 21 \) sau \( \left[\frac {x}{y} + 20\right]\ge 35 \)
Daca \( \left[\frac {x}{y} + 20\right] \ge 35 \), \( x \ge 15y \ge 15 \) \( \Rightarrow LHS > 1995 \) , imposibil .
Daca \( \left[\frac {x}{y} + 20\right] = 21 \) , atunci \( \Leftrightarrow \)
\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 85 \\
2y > x\ge y \end{cases} \)
Deci \( (x,y) = (7,6) \) este singura solutie .
. A snake that slithers on the ground can only dream of flying through the air.