Teorema sinusurilor

[alex2008]

Demonstrati ca intr-un triunghi ascutitunghic au loc egalitatile : \( \frac{a}{sin A}=\frac{b}{sin B}=\frac{c}{sin C} \) (forma "redusa" a teoremei sinusurilor).

[elena_romina]

Daca avem triunghiul \( ABC \)inscris in \( C(O,R) \), si \( D \) simetricul lui \( B \) fata de \( O \), atunci \( sinA=sin D=\frac{a}{2R} => \frac{a}{sinA}=2R \)
Analog pentru celelalte unghiuri.

[Virgil Nicula]

Demonstrati ca intr-un triunghi ascutitunghic au loc egalitatile : \( \frac{a}{sin A}=\frac{b}{sin B}=\frac{c}{sin C} \)
( forma "redusa" a teoremei sinusurilor).

Daca avem triunghiul \( ABC \)inscris in \( C(O,R) \), si \( D \) simetricul lui \( B \) fata de \( O \), atunci \( sinA=sin D=\frac{a}{2R} => \frac{a}{sinA}=2R \)
Analog pentru celelalte unghiuri.

Eu nu am auzit pana acum (si am o varsta onorabila !) de "forma redusa" a teoremei sinusurilor.

Eu zic sa retinem aceasta teorema (care se demonstreaza precum a demonstrat Elena Romina)

in sens "larg" (iata ca am ajuns si eu sa vorbesc "orientat"), adica sub forma urmatoare :

Lungimea unei coarde \( [XY] \) din cercul \( C(O,R) \) , \( XY\ <\ 2R \) , este egala cu
produsul intre lungimea diametrului si sinusul unghiului inscris ascutit care subintinde coarda.

Aplicatie. Intr-un triunghi \( ABC \) cu ortocentru \( H \) avem relatia \( AH=R\cdot |\sin 2A|\ . \)