Concursul "Congruente", problema 3

[Claudiu Mindrila]

Sa se arate ca exista o infinitate de perechi de numere naturale cu proprietatea ca, impartindu-l pe primul la al doilea, obtinem un cat si un rest, iar impartindu-l pe al doilea la primul, obtinem catul egal cu primul rest si restul egal cu primul cat.
Constantin Apostol, Ramnicu Sarat

[Dorobantu Razvan]

\( a:b=c,rest=r \)
\( b:a=r,rest=c \)
\( a=bc+r \)
\( b=ar+c \)
\( r<b \)
\( c<a \)
Daca \( b<a \)\( =>r=0,c=a \)
\( a=ba+0 \)
\( a=ba \)
\( b=a:a \)
\( b=1 \)
\( a<b \)\( => \)analog ca \( a=1 \) si \( b={1,2,3,4,...} \)