Inca o problema de medie
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Inca o problema de medie
Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) o functie continua astfel incat \( \int_0^1 f(x)dx=\int_0^1 xf(x)dx \). Sa se arate ca exista \( c\in (0,1) \) astfel incat \( \int_0^c xf(x)dx=0 \).
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Se aplica teorema lui Flett:
,,Fie \( f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) o functie derivabila si f'(a)=f'(b). Atunci exista un \( \theta\in (a,b) \) astfel incat \( \frac{f(\theta)-f(a)}{\theta-a}=f^{\prime}(\theta). \)''
Revenim la problema :
Din conditia problemei se deduce ca \( \int_0^1(\int_0^xf(t)dt)dx=0 \) si atunci din teorema de medie exista \( d\in(0,1) \) astfel incat \( \int_0^df(x)dx=0 \)
Apoi aplicam teorema lui Flett pentru \( g(x)=\int_0^x(\int_0^yf(t)dt)dy \) pe intervalul [0,d] si obtinem un punct \( c\in[0,d] \) astfel incat \( \int_0^c(\int_0^yf(t)dt)dy=c\int_0^cf(t)dt \) de unde printr-o integrare prin parti in prima integrala obtinem concluzia problemei.
,,Fie \( f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \) o functie derivabila si f'(a)=f'(b). Atunci exista un \( \theta\in (a,b) \) astfel incat \( \frac{f(\theta)-f(a)}{\theta-a}=f^{\prime}(\theta). \)''
Revenim la problema :
Din conditia problemei se deduce ca \( \int_0^1(\int_0^xf(t)dt)dx=0 \) si atunci din teorema de medie exista \( d\in(0,1) \) astfel incat \( \int_0^df(x)dx=0 \)
Apoi aplicam teorema lui Flett pentru \( g(x)=\int_0^x(\int_0^yf(t)dt)dy \) pe intervalul [0,d] si obtinem un punct \( c\in[0,d] \) astfel incat \( \int_0^c(\int_0^yf(t)dt)dy=c\int_0^cf(t)dt \) de unde printr-o integrare prin parti in prima integrala obtinem concluzia problemei.
Last edited by Marius Mainea on Mon Dec 29, 2008 11:13 pm, edited 2 times in total.
-
Laurentiu Tucaa
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:22 pm
- Location: Pitesti
-
Theodor Munteanu
- Pitagora
- Posts: 98
- Joined: Tue May 06, 2008 5:46 pm
- Location: Sighetu Marmatiei
Exista si o demonstratie a teoremei lui Flett? Nu de alta, dar daca o folosesc la olimpiada, cum nu e prevazuta in programa, nu ar strica sa si arat cand prind o problema ce se poate face cu ea.
Apropo, cum ati dedus \( \int_0^1(\int_0^xf(t)dt)dx=0 \)?
Apropo, cum ati dedus \( \int_0^1(\int_0^xf(t)dt)dx=0 \)?
La inceput a fost numarul. El este stapanul universului.
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Da, exista cel putin doua demonstratii din cate stiu eu. Una dintre ele se afla in cartea Probleme de Analiza Matematica-Calcul Integral, Tudorel Lupu, Ed. GIL Zalau, 1996, la pagina 114, problema 64. Cealalta demonstratie se afla in articolul lui Flett din 1958. Vezi aici: http://www.math.sc.edu/~girardi/m555/cu ... -Flett.pdf
Desi par mici leme inofensive, vreau sa spun ca s-a scris mult in ultima vreme despre aceasta teorema de medie a lui Flett si aplicatii ale ei si nu ma refer la probleme de olimpiada ci la articole de cercetare. Poti sa cauti pe google: "Flett's mean value theorem and applications". Anul trecut am scris si eu un articol despre diverse aplicatii ale unor teoreme de medie la unii operatori integrali. Vezi aici: http://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2009/117/lupu.pdf
Pe de alta parte, relatia \( \int_0^1\left(\int_0^xf(t)dt\right)dx=0 \) poate fi dedusa plecand de la ipoteza folosind integrarea prin parti.
Desi par mici leme inofensive, vreau sa spun ca s-a scris mult in ultima vreme despre aceasta teorema de medie a lui Flett si aplicatii ale ei si nu ma refer la probleme de olimpiada ci la articole de cercetare. Poti sa cauti pe google: "Flett's mean value theorem and applications". Anul trecut am scris si eu un articol despre diverse aplicatii ale unor teoreme de medie la unii operatori integrali. Vezi aici: http://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2009/117/lupu.pdf
Pe de alta parte, relatia \( \int_0^1\left(\int_0^xf(t)dt\right)dx=0 \) poate fi dedusa plecand de la ipoteza folosind integrarea prin parti.
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.