Patrat perfect

[Marcelina Popa]

Ionutz a observat ca patratele numerelor 35, 85 si 145 se termina cu 25.
a). Care credeti ca ar fi regula? Verificati-o prin inca un exemplu.
b). Demonstrati regula in cazul general (fara exemple, lucrand cu litere).

[miruna.lazar]

A. Regula e simpla. 1. Numerele trebuie sa se termine neaprat in 5.
2. Intre ele sunt distante de nr. consecutive => intre 3 si 8 e distanta de 5 , intre 8 si 14 de 6 . Inseamna ca distanta dintre ultimul si urmatorul aflat trebuie sa fie 7. Prin urmare , 14 + 7 = 21 =>\( 215^2 \) = 46225=> se termina in 25. Intre numarul aflat ( 215 , 21 fiind fara 5 ) , urmatorul este 21 + ( 7 + 1 ) => 21 + 8 = 29 -> numarul este 295 => \( 295^2 \) = 87025 . Tot in 25 se termina.


B. O explicatie in litere ar fi :

a + 5 = b
b + 6 = c
c + 7 = d ... etc.

=> \( a^2 \),\( b^2 \),\( c^2 \),\( d^2 \) sunt numere care se termina in 25 .

OBSERVATIE : Numerele 3 , 8 , 14 , 21 , 29 le-am obtinut prin extragerea cifrei 5 de la sfarsit ca sa simplificam exercitiul

[Marcelina Popa]

1. Numerele trebuie sa se termine neaprat in 5.
2. Intre ele sunt distante de nr. consecutive => intre 3 si 8 e distanta de 5 , intre 8 si 14 de 6 .

E adevarat ca numerele initiale trebuie sa se termine in 5. Insa esti sigura ca si conditia a doua este necesara?

[miruna.lazar]

Da , asa m-am gandit...eu stiu...? poate este alta metoda , dar am observat ca daca aplic aceasta regula , imi iese ceva bine

[miruna.lazar]

Daca s-ar fi terminat numai in 5 , pot rezulta si inmultiri care nu au neaprat 25 la urma , de ex. numarul 35 . \( 35\cdot{5}\neq \) un numar care se termina in 25 , ci cu unul care se termina in 75.

[Marcelina Popa]

Pai nu e vorba de inmultire cu 5, ci de ridicare la patrat.

\( 35^2=1225 \)

Deci?

[miruna.lazar]

A...am vrut sa zic 45 .Dar si \( 45^2 \) se termina in 25...hm , ce sa zic , probabil ca trebuie doar sa se termine in 5...Adica regula 2 e inutila...


Acum am priceput . Pentru că 5 ridicat la a doua dă 25 , înseamnă că orice nr. terminat in 5 ridicat la a doua tot 25 dă , corect?

[Marcelina Popa]

Da, dar mai trebuie ceva . O demonstratie pe cazul general.

[miruna.lazar]

\( 5^2 \) =\( 25 \)

\( \overline {abcd...5 }^2 = \overline {........25} \)

[Marcelina Popa]

\( 5^2 \) =\( 25 \)

\( \overline {abcd...5 }^2 = \overline {........25} \)

Da, asa suna problema, formulata in cazul general. Ca sa eviti insiruirea aceea de litere (abcd...), in care nu se stie cate litere avem, poti scrie:

\( \overline{abcd...5}=A\cdot 10+5 \),
unde \( A \) este numarul format din toate cifrele dinaintea lui 5.

De exemplu, \( 457235=457230+5=45723\cdot10+5 \) (in acest exemplu, A=45723).

Dupa care urmeaza ceva absolut necesar, si anume demonstratia.

[miruna.lazar]

La demonstratie trebuie sa ma mai gandesc.


\( (A \cdot 10 + 5) ^ 2 = A^2 \cdot 10^2\cdot 5^2 ? \)


Verificare

Sa zicem ca A este 7

\( (7 \cdot 10 + 5 ) ^ 2 = 75^2 = 5625 \)

[Marcelina Popa]

Nu. Exista o formula care se invata mai tarziu, in clasa a VII-a, care te-ar putea ajuta, dar e mai bine sa lucrezi, deocamdata, cu ce stii.

\( (10A+5)^2=(10A+5)\cdot(10A+5) \)

[miruna.lazar]

Pai nu este acelasi lucru cu ridicarea la patrat?

[miruna.lazar]

Inmultesc paranteza cu ea insasi

[Marcelina Popa]

La demonstratie trebuie sa ma mai gandesc.


\( (A \cdot 10 + 5) ^ 2 = A^2 \cdot 10^2 + 5^2 ? \)

E foarte bine ca ti-ai pus intrebarea asta. Unii lucreaza asa fara sa banuiasca ca gresesc. Cand ai indoieli in privinta unei reguli, o poti verifica, pana una alta, prin exemple.

\( (20+5)^2\neq20^2+5^2 \)