Lege de compozitie

[Marcelina Popa]

E vorba de o problema pe care am postat-o tot eu, dar la clasa a IX-a. Ori am pus-o eu acolo din greseala, ori mi-au mutat-o moderatorii fiindca se putea face, in principiu, si fara sa fi auzit de legi de compozitie.

O reproduc si aici, pentru ca merita lucrata (si) in clasa a XII-a:

Pornind de la numerele \( \frac{1}{1},\ \frac{1}{2}, \ \frac{1}{3},\ ...,\ \frac{1}{100} \), se repeta urmatoarea operatie pana ce ramane un singur numar: se aleg doua numere a si b, la intamplare, si se inlocuiesc cu ab+a+b.

Care va fi numarul ramas la sfarsit?

P.S. Am postat problema in sectiunea asta pentru ca s-a dat in Grecia la faza nationala, in 2000.

[Marius Mainea]

\( ab+a+b=(a+1)(b+1)-1 \) de unde prin inductie \( a_1 \ast a_2\ast...\ast a_n=(a_1+1)(a_2+1)....(a_n+1)-1 \),
unde am notat \( a\ast b=ab+a+b \).

Asadar \( \frac{1}{2}\ast \frac{1}{3}\ast...\ast \frac{1}{100}=(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{3}+1)....(\frac{1}{100}+1)-1=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}.....\cdot\frac{101}{100}-1=\frac{101}{2}-1=\frac{99}{2} \).

[Marcelina Popa]

Da, exact . Insa trebuie precizat undeva ca operatia este asociativa si comutativa, fiindca ordinea initiala a numerelor este aleatoare.

Am dat problema asta la clasa (o clasa a XII-a de mate-info) si au lucrat-o altfel: cateva incercari, apoi inductie. N-au folosit relatia \( ab+a+b=(a+1)(b+1)-1 \).


Off topic: relatia asta reprezinta un caz particular al SFTP (Simon's Favorite Factoring Trick) .