Inca o problema clasica de medie

[Cezar Lupu]

Fie \( f:[a, b]\to\mathbb{R} \) o functie continua astfel incat \( \int_a^bf(x)dx=0 \). Sa se arate ca exista \( c\in (a, b) \) astfel incat

\( f(c)+\int_a^cf(x)dx=f(c)\cdot\int_a^cf(x)dx \).


Marian Ursarescu , Roman
Gazeta Matematica, seria B, 4/2001

[Bogdan Posa]

O rezolvare va rog.

[bogdanl_yex]

Incearca Rolle pentru functia \( F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)}dt \cdot e^{-\int_{a}^{x}{f(t)}dt+x} \) .

[Laurentiu Tucaa]

Solutie fara teorema Rolle care mi se pare greu de intuit:
Fie \( g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R},\ g(x)=f(x)+\int_a^x f(t)dt-f(x)\int_a^x f(t)dt \). Acum avem 2 cazuri:
1) f(a), f(b) au semne contrare, rezulta imediat concluzia;
2) f(a), f(b) de acelasi semn, sa zicem + (cand cele 2 sunt negative se demonstreaza analog). Din teorema de medie functia se anuleaza cel putin odata si cum integrala este 0 avem si un punct in interiorul intervalului mai mic decat 0 deci integrala se mai anuleaza o data. Fie \( m=\min\{x\in(a,b)|f(x)=0\} & M=\max\{x\in(a,b)|f(x)=0\} \). Se demonstreaza simplu ca \( \int_a^m f(x)dx>0 & \int_a^M f(x)dx<0 \) si deci \( g(m)g(M)<0 \), deci avem concluzia.