Identitate elementara si totusi uzuala

[Claudiu Mindrila]

Fie \( a,b,c,d \in \mathbb{N}^* \) astfel incat \( (a,b)=1 \) si \( (c,d)=1 \). Demonstrati ca daca \( \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \in \mathbb{N} \) atunci \( b=d \).
Observatie. Am notat prin \( (\alpha, \beta) \) cel mai mare divizor comun al numerelor \( \alpha \) si \( \beta \).

Aplicatie:

Fie \( m,n \in \mathbb{N} \). Sa se arate ca daca \( a=\frac{3n+4}{2n+3}+\frac{5m+8}{2m+3} \in \mathbb {N} \), atunci \( a=4 \).


Marius Damian, Nicolae Stanica, O.L.M. Braila, 2006

[Omer Cerrahoglu]

Avem ca \( \frac{ad+bc}{bd} \in \mathbb{N}(1) \) deci
\( d|ad+bc \Rightarrow d|bc \). Deoarece \( (c;d)=1 \) avem ca \( d|b(*) \).
Din (1) avem ca \( b|ad+bc \Rightarrow b|ad \). Deoarece \( (a;b)=1 \) avem ca \( b|d(**) \).
Din (*) si (**) avem ca \( b=d \)