IMC 2008 ziua 1 problema 1

[Beniamin Bogosel]

Determinati toate functiile continue \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) pentru care \( f(x)-f(y) \in \mathbb{Q} \) oricare ar fi numerele reale \( x,y \) cu \( x-y \in \mathbb{Q} \).

IMC 2008

[Ciprian Oprisa]

Ok, daca tot nu raspunde nimeni, redactez aici solutia pe care am dat-o eu.
Fie \( b=f(0) \) si \( a=f(1)-f(0) \), apoi luam \( g(x)=f(x)-ax-b \).
Avem ca \( g(1)=g(0)=0 \), si ne propunem sa aratam ca \( g=0 \).
Fixam \( q \in \mathbb{Q} \) si avem ca \( h_q(x)=g(x+q)-g(x) \) este continua, si ia doar valori rationale.
Dar o functie continua care ia doar valori rationale, este constanta.
\( \Rightarrow h_q(x)=g(x+q)-g(x)=h_q(0)=g(q)-g(0)=g(q) \)
\( \Rightarrow g(x+q)=g(x)+g(q) \).
De aici, avem ecuatia functionala a lui Cauchy, si faptul ca g-continua, obtinem \( g(x)=x\cdot g(1)=x\cdot 0=0 \).
Asadar, \( f \) poate fi doar de forma \( ax+b \), si cum \( x-y \in \mathbb{Q} \rightarrow f(x)-f(y) \in \mathbb{Q} \), obtinem in plus ca \( a \in \mathbb{Q} \).