mateforum.ro

In legatura cu problema 2, TST 2/2008 iata alte doua probleme propuse de Bogdan Enescu.

1. Daca \( x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb{R} \), atunci

\( \frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+...+\frac{x_n}{1+x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}<\sqrt{n} \)

2. Daca \( x_1, x_2, ..., x_n \) sunt numere pozitive, atunci

\( \frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_1+x_2}+...+\frac{1}{1+x_1+x_2+...+x_n}<\sqrt{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}} \)

ONM 2005

Prima inegalitate este din lista scurta IMO, 2001. A se vedea urmatorul link.

Aceeasi prima inegalitate a fost data la locala in Arges in 2007
Si asta e ciudat ca o problema de nivel OIM este propusa la o locala de matematica.

Claudiu Mindrila wrote:Prima inegalitate este din lista scurta IMO, 2001. A se vedea urmatorul link.

Asa e. A fost propunerea Romaniei si foarte aproape de a fi aleasa in concurs. O interventie a liderului din Kazahstan (care a spus ca i se pare ca a mai vazut ceva similar, dar nu stie unde...) a facut ca problema sa fie eliminata. La votul initial, a fost cea mai apreciata problema.

Aceeasi problema (problema 1) a aparut si in American Mathematical Monthly in 2009 propusa de un chinez.

Deci pana la urma cine este autorul?ca in arges daca imi aduc bine aminte era semnata de un cunoscut autor de inegalitati din arges ,evident poate doar a rezolvat-o sau chiar o fi propusa de dansul .chiar atunci in barem apareau 2 solutii ,amandoua avand la baza CBS

Folosim inegalitatea CBS
\( \sum{a_k}\le\sqrt{n}\sqrt{\sum a_k^2} \) cu \( a_k=\frac{x_k}{1+\sum_{i=1}^k x_i^2} \)
Astfel tot ce ramane de demonstrat este
\( \sum{(\frac{x_k}{1+x_1^2+x_2^2+...x_k^2})^2<1 \)
Dar \( (\frac{x_k}{1+x_1^2+x_2^2+...x_k^2})^2\le\frac{x_k^2}{(1+x_1^2+...+x_{k-1}^2)(1+x_1^2+...+x_k^2)}=\frac{1}{1+x_1^2+...+x_{k-1}^2}-\frac{1}{1+x_1^2+...+x_k^2} \)
\( \Longrightarrow \sum{(\frac{x_k}{1+x_1^2+x_2^2+...x_k^2})^2\le 1-\frac{1}{1+x_1^2+...+x_n^2}<1 \)