Divizori ai lui zero intr-un inel finit

[Marius Mainea]

Intr-un inel unitar A cu \( p^2 \) elemente, cu p prim, exista cel mult p-2 divizori bilaterali ai lui zero. Demonstrati ca A este corp.

Alin Galatan, Shortlist ONM 2007

[Dragos Fratila]

Sa observam ca divizor al lui 0 (stang/drept) este totuna cu divizor al lui 0 bilateral. Intr-adevar, fie \( a\in A \) si aplicatiile \( x\mapsto xa \) si \( x\mapsto ax \) unde \( x\in A \). Inelul \( A \) fiind finit rezulta ca injectivitate=surjectivitate pentru aceste doua functii. Asadar daca \( a \) nu este inversabil atunci aplicatiile nu sunt injective si atunci \( a \) este divizor bilateral al lui 0.

Fie \( a\in A-\{0\} \). Atunci \( aA \) este subgrup in \( (A,+) \), deci are ordinul \( 1,p \) sau \( p^2 \).
Daca \( |aA|=1 \) rezulta ca \( a=0 \) pentru ca \( A \) este unitar, contradictie.
Daca \( |aA|=p \) atunci rezulta ca \( a \) este divizor al lui 0 si ca sunt cel putin \( |aA|-1=p-1 \) divizori(bilaterali) ai lui zero in \( A \) ceea ce contrazice ipoteza.
A mai ramas \( |aA|=p^2 \), adica \( a \) inversabil.

In concluzie \( A-\{0\}=U(A) \).