Daca \( A\in M_n(K) \), \( K \) corp comutativ, are proprietatea ca polinomul sau minimal si cel caracteristic nu coincid, atunci exista o matrice \( B\in M_n(K) \) care comuta cu \( A \) si care nu este un polinom in \( A \).
Observatie. Se stie ca in cazul in care polinomul minimal si cel caracteristic al unei matrice A coincid, atunci orice matrice care comuta cu A este un polinom in A.
Polinomul minimal si caracteristic sunt diferite
-
Tiberiu Popa
- Euclid
- Posts: 19
- Joined: Thu Oct 04, 2007 1:32 am
Tin minte ca grobber a rezolvat cealalta implicatie folosind forma Jordan, asa c-o sa incerc si aici sa fac la fel.
Pentru inceput presupun ca exista forma Jordan \( J \) a matricei \( A \).
Enuntul ramane la fel dupa o schimbare de baza, deci pot sa presupun ca \( A \) e deja in forma Jordan. \( A \) are polinomul caracteristic diferit de cel minimal daca si numai daca unei valori proprii \( \lambda \) ii corespund (cel putin) doua blocuri Jordan. Altfel zis, dandu-se o matrice \( C = \begin{pmatrix} J_a \left( \lambda \right) & 0 \\ 0 & J_b \left( \lambda \right) \end{pmatrix} \), trebuie gasita o matrice \( D = \begin{pmatrix} J_a \left( \lambda \right) & X \\ Y & J_b \left( \lambda \right) \end{pmatrix} \) astfel incat \( CD = DC \) si \( X,Y \neq 0 \) (un astfel de \( D \) nu e polinom in \( C \), colturile sale nu-s nule). Calculand, da \( J_a \left( \lambda \right) \cdot X = X \cdot J_b \left( \lambda \right) \) si \( J_b \left( \lambda \right) \cdot Y = Y \cdot J_a \left( \lambda \right) \).
Acuma iar niste calcule: o matrice care indeplineste conditia \( J_a X = X J_b \) trebuie sa aiba elemente aflate "in diagonala" egale (\( x_{i1} = x_{i+1,2} = x_{i+2,3} = \ldots \)). De asemenea, elementele \( x_{2,1}, \ldots x_{a,1} \) si \( x_{a,1}, \ldots, x_{a,b-1} \) sunt obligatoriu zero. Daca \( a>b \), pot alege diagonala care incepe din \( (1,1) \) non-zero, altfel iau diagonala care se termina in \( (a,b) \).
Cam atat ar fi, daca n-am gresit la calculele pe care le-am lasat cititorului.
Pentru inceput presupun ca exista forma Jordan \( J \) a matricei \( A \).
Enuntul ramane la fel dupa o schimbare de baza, deci pot sa presupun ca \( A \) e deja in forma Jordan. \( A \) are polinomul caracteristic diferit de cel minimal daca si numai daca unei valori proprii \( \lambda \) ii corespund (cel putin) doua blocuri Jordan. Altfel zis, dandu-se o matrice \( C = \begin{pmatrix} J_a \left( \lambda \right) & 0 \\ 0 & J_b \left( \lambda \right) \end{pmatrix} \), trebuie gasita o matrice \( D = \begin{pmatrix} J_a \left( \lambda \right) & X \\ Y & J_b \left( \lambda \right) \end{pmatrix} \) astfel incat \( CD = DC \) si \( X,Y \neq 0 \) (un astfel de \( D \) nu e polinom in \( C \), colturile sale nu-s nule). Calculand, da \( J_a \left( \lambda \right) \cdot X = X \cdot J_b \left( \lambda \right) \) si \( J_b \left( \lambda \right) \cdot Y = Y \cdot J_a \left( \lambda \right) \).
Acuma iar niste calcule: o matrice care indeplineste conditia \( J_a X = X J_b \) trebuie sa aiba elemente aflate "in diagonala" egale (\( x_{i1} = x_{i+1,2} = x_{i+2,3} = \ldots \)). De asemenea, elementele \( x_{2,1}, \ldots x_{a,1} \) si \( x_{a,1}, \ldots, x_{a,b-1} \) sunt obligatoriu zero. Daca \( a>b \), pot alege diagonala care incepe din \( (1,1) \) non-zero, altfel iau diagonala care se termina in \( (a,b) \).
Cam atat ar fi, daca n-am gresit la calculele pe care le-am lasat cititorului.