(M2) Subiectul I-faza finala-Concursul de Evaluare

[Laurian Filip]

Se considera numarul \( a=(\sqrt2+ \sqrt3)^{2000} \). Sa se arate ca a este numar irational si sa se determine primele 1000 de zecimale ale sale.

[Marius Mainea]

Folosind binomul lui Newton se observa usor ca \( a=m+n\sqrt{6} \) unde m, n sunt naturale nenule, si de aici prima parte a problemei.

Pentru a doua parte sa observam ca \( (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2000}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2000} \) este numar natural.

Insa \( (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2000}<\frac{1}{10^{1000}} \) deci primele 1000 de zecimale ale lui a sunt egale cu 9.