Functie intreaga cu ordin ne-intreg are o infinitate de zero

[Dragos Fratila]

Fie \( f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} \) functie intreaga (olomorfa peste tot).
Demonstrati ca daca f are ordinul un numar neintreg atunci are o infinitate de zerouri.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Spunem ca \( f \) are ordin finit daca \( |f(z)|\le Ae^{|z|^t},\forall z \) pentru niste constante \( A,t\ge 0 \).
Definim \( \rho=\rho_f = \inf\{t:\ \exists A>0,\ |f(z)|\le Ae^{|z|^t}\} \) si il numim ordinul lui \( f \).

[Alin Galatan]

Observatie: Din cate stiu, trebuie ca \( |f(z)|\leq Ae^{B|z|^t} \), si nu doar \( B=1 \) cum ai spus.

Presupunem prin absurd ca f are un numar finit de zerouri. Avand ordin finit, putem aplica teorema lui Hadamard. Fie \( a_1,a_2,...,a_n \) zerourile nenule (eventual repetate in functie de ordinul de multiplicitate).
Fie \( k=[\rho] \), unde \( \rho \) e ordinul.
Atunci \( f(z)=e^{P(z)}z^m \prod_{i=1}^n (1-\frac{z}{a_i})e^{1+\frac{z}{a_i}+\frac{z^2}{2a_i^2}+...+\frac{z^k}{ka_i^k}} \), unde P e un polinom de grad k.
Deci \( f(z)=Ue^{Q(z)}z^m\prod_{i=1}^n (a_i-z) \), unde U strange toate constantele pe care le poate strange.
\( Uz^m\prod (a_i-z) \) e polinom, deci exista A astfel ca \( |Uz^m\prod (a_i-z)|\leq Ae^{|z|} \) pentru orice z.
Deci \( |f(z)|\leq A|e^{P(z)}|e^{|z|} \).
Cum \( |e^{P(z)}|\leq e^{|P(z)|}\leq e^{B{|z|^k}} \), combinand inegalitatile, obtinem ca \( \rho\leq \min\{k,1\} \).
\( k=0\Rightarrow\rho = 0 \), absurd caci nu e intreg.
\( k\geq 1\Rightarrow \rho\leq k=[\rho] \), absurd, caci nu e intreg.
Deci are o infinitate de zerouri.

[Dragos Fratila]

Pe B-ul ala il poti baga la exponent (i.e. \( t+\varepsilon) \) si la constanta din fata. Pana la un anumit rang ( |z|<ceva) il pui la constanta din fata si dupa il poti baga la exponent. Treaba asta nu va influenta ordinul functiei fiindca se ia infimum-ul si pe \( \varepsilon \) il poti face oricat de mic.

[Alin Galatan]

Asa e