Bisectoare intr-un triunghi, inaltimi in altul

[turcas]

Cred ca este cunoscuta. Nu stiu daca ii este locul aici, dar ...

Avem ca \( AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime} \) sunt bisectoare in triunghiul \( \triangle{A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} } \), \( A^{\prime} \in (BC) \), \( B^{\prime} \in (AC) \), \( C^{\prime} \in (AB) \).

Sa se demonstreze ca \( AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime} \) sunt inaltimi in triunghiul \( \triangle{ABC} \).
Am pus aici si un desen:

[Beniamin Bogosel]

In ipoteza avem \( A^\prime \in (BC) \) etc? Mi se pare enuntul un pic neclar la partea asta.

[Filip Chindea]

Cred ca iese asa:

Fie \( E \in AA^{\prime} \cap BB^{\prime} \cap CC^{\prime} \) si, de exemplu, \( P \in AA^{\prime} \cap B^{\prime}C^{\prime} \). Este cunoscut ca \( (A, E, P, A^{\prime}) \) este diviziune armonica, si cum \( \angle BB^{\prime}A^{\prime} = \angle BB^{\prime}C^{\prime} \), adica \( \angle EB^{\prime}P = \angle EB^{\prime}A^{\prime} \), conform unei teoreme bine-stiute, \( \angle EB^{\prime}A \) este drept, adica \( BB^{\prime} \perp AC \). Analog si \( CC^{\prime} \perp AB \), deci \( E \equiv H \).

[turcas]

In ipoteza avem \( A^\prime \in (BC) \) etc? Mi se pare enuntul un pic neclar la partea asta.

Da, avem asta in ipoteza. Am pus un desen, dar astazi "imageshack.us" e cam lenes . Cred ca se pot da destul de multe solutii.