Problema frumoasa

[Marius Mainea]

Sa se arate ca daca intre laturile triunghiului ABC exista relatia \( abc(a+b+c)=16S^2 \) , atunci triunghiul este echilateral.

[Beniamin Bogosel]

si destul de usoara... Relatia ta devine dupa ce folosim formula lui Heron urmatoarea:
\( abc=(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc \), unde pentru inegalitate am folosit inegalitatea mediilor de 3 ori. Noi avem egalitate, deci \( a=b=c \), si triunghiul este echilateral...

[Marius Mainea]

Problema admite si alte solutii. De exemplu relatia conduce la R=2r.

Sau la sin\( \frac{A}{2} \)sin\( \frac{B}{2} \)sin\( \frac{C}{2} \)=\( \frac{1}{8} \)

Toate acestea conduc la triunghi echilateral.

Am facut astazi problema la clasa si de aceea am postat-o.