Axioma alegerii si alte propozitii echivalente cu ea

[Beniamin Bogosel]

Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) Axioma alegerii: Pentru orice multime nevida \( X \) exista o functie \( f:\mathcal{ P}(X)\setminus \{\emptyset\} \) astfel incat \( f(A) \in A,\ \forall A \in \mathcal{P}(X)\setminus \{\emptyset\} \).
(O astfel de functie se numeste functie selectiva sau functie de alegere.)

2) Lema lui Zorn: Daca \( (X,\leq ) \) este o multime inductiv ordonata (adica orice lant admite majoranti; un lant e o submultime a lui \( X \) total ordonata), atunci ea admite element maximal.

3) Axioma alegerii a lui Zermelo: Pentru orice familie nevida de multimei devide si disjuncte doua cate doua \( (A_\alpha)_{\alpha \in J} \), exista o multime nevida \( B \) astfel incat pentru orice \( \alpha \in J \), multimea \( B\cap A_{\alpha} \) sa aiba un singur element.

4) Principiul bunei ordonari al lui Zermelo: Orice multime nevida poate fi bine ordonata.

5) Postulatul lui Zermelo: Pentru orice familie nevida de multimi nevide \( (A_\alpha)_{\alpha \in J} \) exista o functie \( f:J\to \bigcup_{\alpha \in J} \) astfel incat \( f(\alpha) \in A_\alpha,\ \forall \alpha \in J \).

6) Axioma lui Kuratowski: Orice lant dintr-o multime ordonata este continut intr-un lant maximal.

7) Axioma lui Russel: Pentru orice familie nevida de multimi nevide \( (A_\alpha)_{\alpha \in J} \) multimea functiilor selective \( \{f:J\to \bigcup_{\alpha \in J}:\ \forall \alpha \in J \Rightarrow f(\alpha) \in A_\alpha\} \) este o multime nevida.

Am luat aceste afirmatii dintr-o carte pe care o am. In ceea ce priveste denumirile acestor afirmatii, poate ca se cunosc si sub alte nume. Probabil ca unele afirmatii sunt evident echivalente (5 si 7, de exemplu), dar unele dintre ele se demonstreaza destul de complicat.

[Liviu Paunescu]

Nu poti sa intelegi prea bine demonstratiile acestor echivalente fara sa fi inteles mai intai axiomele ZF. Aceste axiome dau contextul in care demonstratiile au loc, ne spun ce anume avem voie sa folosim pe parcursul demonstratiilor.

Singura implicatie care mai zice ceva (parerea mea) este 1=>2 (sau echivalent 3=>2 ..), dar si aici e bine de stiut ce este un ordinal pentru a intelege fenomenul.

[Beniamin Bogosel]

Care sunt axiomele ZF?

[Liviu Paunescu]

Sunt mai multe sisteme echivalente, cel pe care o sa il prezint contine 8:

1. Extensionalitate
\( \forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y \)
Doua multimi, daca au aceleasi elemente, sunt egale (reciproca e o consecinta a logicii in general).

2. Multimea vida
\( \exists x\forall y(y\not\in x) \)
Exista multimea vida.

3. Axioma fundatiei (suna ciudat, dar nu stiu alta traducere)
\( \exists y(y\in x)\Rightarrow\exists y(y\in x\wedge\not\exists z(z\in x\wedge z\in y)) \)
Pentru o multime nevida exista un element al ei care nu are nimic in comun cu multimea initiala (intersectie vida).

4. Axioma reuniunii
\( \forall x\exists y\forall z(z\in y\Leftrightarrow(\exists w(z\in w\wedge w\in x))) \)
Reuniune de multimi indexata dupa o multime este multime.

5. Axioma inlocuirii
\( [\forall y\exists zP(y,z)\wedge(P(y,z_1)\wedge P(y,z_2)\Rightarrow(z_1=z_2))]\Rightarrow[
\exists w\forall z(z\in w\Leftrightarrow\exists y(y\in x\wedge P(y,z)))] \)
Prima parte spune ca \( P \) este o "functie" (definita pe clasa multimilor), iar a doua parte spune ca daca luam o multime \( x \) si inlocuim elementele ei cu imaginile prin aceasta functie, obtinem tot o multime.

6. Axioma submultimii (cei cu care am mai vorbit stiu ca am o problema personala cu aceasa axioma )
\( \forall y\exists x\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y\wedge P(z)) \)
Titlul e self explanatory.

7. Axioma infinitului
\( \exists x[\exists y(y\in x)\wedge(y\in x\Rightarrow y\cup\{y\}\in x)] \)
Pe scurt, exista o multime infinita.

8. Multimea partilor
\( \forall x\exists y(z\in y\Leftrightarrow\forall w(w\in z\Rightarrow w\in x)) \)
Din nou self explanatory.

Si acum dupa ce am aruncat in voi cu enunturi din logica de ordinul intai, o sa zic ca e nevoie de cateva cunostinte de logica pentru a intelege tot formalismul. La urma urmei, \( ZF \) este o teorie a logicii de ordinul intai. Una peste alta se pare ca toti logicienii s-au pus deacord asupra faptului ca sunt niste axiome rudimentare, care nu au rezolvat mai nimic.

Cum am zis si in demonstratia aceea a lemei lui Zorn, dupa parerea mea axioma alegerii ar trebui sa rezulte ca o teorema din sistemul axiomatic al teoriei multimilor. Stim ca aceste axiome nu implica \( AC \) si atunci trebuie adaugata ca o a noua axioma.