Inegalitate in legatura cu problema 1 de la Gh Lazar

[Beniamin Bogosel]

Sa se demonstreze ca in triunghiul oarecare ABC avem inegalitatea:
cos\( \frac{A} {4} \)+cos\( \frac{B} {4} \)+cos\( (\frac{C} {4}+45^\circ) \) > \( \frac {3} {2} \).

Constanta \( \frac{3}{2} \) se poate inlocui cu 2, care este cea mai buna constanta posibila. Demonstrati acest lucru.

[Marius Mainea]

Notam \( \frac{A}{2}=x , \frac{B}{2}=y , \frac{C}{2}=z \) si inegalitatea devine:
\( \cos x+\cos y+\sin(x+y)>2 \ \text{ pentru } \ x+y<\frac{\pi}{4} \)

Expresia de mai sus considerata ca functie de x este strict crescatoare pe intervalul \( [0,y-\frac{\pi}{4}] \)

Asadar \( f(x)>f(0)=1+\cos y+\sin y>2 \) dupa cum se poate observa usor.