Caracterizare a triunghiului echilateral

[Marius Mainea]

Fie tringhiul ABC si G centrul sau de greutate astfel incat:

a+AG=b+BG=c+CG.

Demonstrati ca triunghiul ABC este echilateral.

Marius Mainea (Concursul revistei Arhimede, noiembrie/2006)

[Tudor Micu]

\( GA^2=\frac{4}{9}\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{9} \)
\( GB^2=\frac{4}{9}\frac{2(c^2+a^2)-b^2}{4}=\frac{2c^2+2a^2-b^2}{9} \)
\( GC^2=\frac{4}{9}\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{9} \)
Avem deci \( a+\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{3}=b+\frac{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}{3}=c+\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{3} \)
\( \sqrt{2c^2+2a^2-b^2}=3(a-b)+\sqrt{2b^2+2c^2-a^2} \)
\( 2c^2+2a^2-b^2=9(a-b)^2+2b^2+2c^2-a^2+6(a-b)\sqrt{2b^2+2c^2-a^2} \)
\( 3(a-b)(a+b)=9(a-b)^2+6(a-b)\sqrt{2b^2+2c^2-a^2} \)(1)
\( \sqrt{2c^2+2a^2-b^2}=3(c-b)+\sqrt{2a^2+2b^2-c^2} \)
\( 2c^2+2a^2-b^2=9(c-b)^2+2a^2+2b^2-c^2+6(c-b)\sqrt{2a^2+2b^2-c^2} \)
\( 3(c-b)(c+b)=9(c-b)^2+6(c-b)\sqrt{2a^2+2b^2-c^2} \)(2)

Daca \( a=b \) atunci din (2): \( (c-b)[9c-9b-3c-3b+6\sqrt{4b^2-c^2}]=0 \)
Daca \( b=c \) avem ca triunghiul ABC este echilateral.
Daca nu, rezulta \( c-2b+\sqrt{4b^2-c^2}=0 \), deci \( 4b^2-c^2=(2b-c)^2 \), deci \( 2c^2-4bc=0 \), de unde \( c=2b \), rezulta GC=0, deci triunghiul ABC este degenerat

Daca \( a\neq b \) rezulta \( 3a-3b+2\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}-a-b=0 \), deci \( 2b^2+2c^2-a^2=(2b-a)^2 \), de unde rezulta \( (b-a)^2=c^2 \). Rezulta deci ca \( b=a+c \) sau \( a=b+c \), deci triunghiul ABC este degenerat