Calcule intr-un inel 1

[Beniamin Bogosel]

Fie \( (A,+,\cdot ) \) un inel cu proprietatea ca \( a^{10}=a,\ \forall a \in A \). Demonstrati ca \( a^4=a,\ \forall a \in A \).
Demonstrati si ca \( A \) este inel comutativ.

Incercati aceeasi problema cu 20 in loc de 10.

[Alin Galatan]

Evident -1=1.
Acum te uiti la \( (a+1)^{10}=a+1 \) si ai 2 variante:
1) Desfaci de mana si faci combinarile, pana crapi. Si la fel pt. 20 cum ziceai mai jos.
2) Folosesti Lucas.
Adica: 10 in baza 2 se scrie 1010.
Atunci singurii k astfel ca \( C_{10}^k \) sa fie pari sunt aceia care in baza 2 se scriu: 0000, 0010, 1000, 1010
Deci spargand binomul lui Newton obtinem, tinand cont ca 1+1=0, ca \( a^{10}+a^8+a^2+1=a+1 \). Reducem si obtinem \( a^8=a^2 \), deci \( a^{10}=a^4 \), deci \( a^4=a \).
Pentru 20 cred ca iese la fel, tinand cont ca 20=16+4, deci vom avea tot 4 k-uri.
Cat despre comutativitate, nu ma gandesc acum. Cred ca era o teorema, a lui Jacobson sau cam asa ceva.