Fie \( a,b,c \geq 0 \) cu proprietatea ca \( a+b+c=1 \). Sa se arate ca:
\( \frac {1}{3} \leq \) \( \sum_{ciclic}{} {\frac {a}{a^2+a+1}} \) \( \leq \frac {9}{13} \).
ONM Shortlist 2008, Ion Nedelcu
O dubla inegalitate
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
Marius Dragoi
- Thales
- Posts: 126
- Joined: Thu Jan 31, 2008 5:57 pm
- Location: Bucharest
O dubla inegalitate
Politehnica University of Bucharest
The Faculty of Automatic Control and Computers
The Faculty of Automatic Control and Computers
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Inegalitatea stanga rezulta din \( (x+2)(x-1)\leq 0,\ \forall x \in [0,1]\Leftrightarrow x^2+x+1\leq 3 \Leftrightarrow \frac{x}{x^2+x+1}\geq \frac{x}{3},\forall x \in [0,1] \).
Cum \( a,b,c\geq 0,\ a+b+c=1 \) rezulta ca \( \sum\frac{a}{a^2+a+1}\geq\sum\frac{a}{3}=\frac{1}{3} \).
Pentru cealalta inegalitate fie \( f:[0,1]\to \mathbb{R},\ f(x)=\frac{x}{x^2+x+1} \). Se demonstreaza ca \( f \) este concava. Ori cu definitia, ori \( f^{\prime \prime}\leq 0 \).
Din inegalitatea lui Jensen pentru \( a,b,c \) avem
\( f(a)+f(b)+f(c)\leq 3f(\frac{a+b+c}{3})=3f(1/3)=\frac{9}{13} \), adica exact inegalitatea dorita.
Se observa ca extremele se ating pentru \( 0,0,1 \), respectiv \( 1/3,1/3,1/3 \).
Ar fi interesanta o demonstratie a concavitatii lui \( f \) fara derivate, ca problema a fost propusa la a 9-a.
Mai jos e si un grafic unde se poate observa prima inegalitate: \( f(x)\geq \frac{x}{3} \) si faptul ca \( f \) este concava.
Cum \( a,b,c\geq 0,\ a+b+c=1 \) rezulta ca \( \sum\frac{a}{a^2+a+1}\geq\sum\frac{a}{3}=\frac{1}{3} \).
Pentru cealalta inegalitate fie \( f:[0,1]\to \mathbb{R},\ f(x)=\frac{x}{x^2+x+1} \). Se demonstreaza ca \( f \) este concava. Ori cu definitia, ori \( f^{\prime \prime}\leq 0 \).
Din inegalitatea lui Jensen pentru \( a,b,c \) avem
\( f(a)+f(b)+f(c)\leq 3f(\frac{a+b+c}{3})=3f(1/3)=\frac{9}{13} \), adica exact inegalitatea dorita.
Se observa ca extremele se ating pentru \( 0,0,1 \), respectiv \( 1/3,1/3,1/3 \).
Ar fi interesanta o demonstratie a concavitatii lui \( f \) fara derivate, ca problema a fost propusa la a 9-a.
Mai jos e si un grafic unde se poate observa prima inegalitate: \( f(x)\geq \frac{x}{3} \) si faptul ca \( f \) este concava.
