Problema Fluturelui...

[Beniamin Bogosel]

Fie \( ABCD \) un patrulater inscris in cercul \( \mathfrak C \). Notam cu \( P \) intersectia diagonalelor acestui patrulater. O dreapta care trece prin \( P \) si intersecteaza \( AD \), respectiv \( BC \) in \( X,Y \) si cercul \( \mathfrak C \) in \( R,Q \) astfel incat ordinea pe dreapta sa fie \( R-X-Y-Q \). Demonstrati ca \( XF=YF \) daca si numai daca \( RF=QF \).

[Beniamin Bogosel]

Daca scriem teorema sinusurilor in triunghiurile cu un varf in \( F \), si tinem cont de puterea unui punct fata de cerc, avem
\( \frac{XF^2}{YF^2}=\frac{AX\cdot DX}{BY\cdot CY}=\frac{RX\cdot QX}{RY\cdot QY}=\frac{RF\cdot QF-XF(RF-QF)-XF^2}{RF\cdot QF+FY(RF-QF)-YF^2} \)

Deci \( \frac{XF^2}{YF^2}=\frac{RF\cdot QF-XF(RF-QF)-XF^2}{RF\cdot QF+FY(RF-QF)-YF^2}=\frac{RF\cdot QF-XF(RF-QF)}{RF\cdot QF+FY(RF-QF)} \).

Acum daca \( XF=YF \), atunci \( (RF-QF)=-(RF-QF)\Rightarrow RF=QF \).

Daca \( RF=QF \) atunci ultimul raport este 1 si din primul raport \( XF=YF \).

Gata...

[maky]

alta solutie cu putina geometrie proiectiva :
fie \( K \in AB \cap DC \) si \( L \in AD \cap BC \).
ma uit la fasciculul armonic \( LK, LP, LA, LB \), taiat de dreapta \( XY \).
atunci \( PX=PY \ \Longleftrightarrow \ XY || LK \Longleftrightarrow \ OP \bot XY \ \Longleftrightarrow \ RP=QP \), unde am folosit faptul ca \( LK \bot OP \), deoarece \( LK \) este polara lui \( P \) in raport cu cercul.

[Beniamin Bogosel]

Aici sunt mai multe solutii la problema asta...