Inel cu exact 5 elemente inversabile
-
Dragos Fratila
- Newton
- Posts: 313
- Joined: Thu Oct 04, 2007 10:04 pm
Inel cu exact 5 elemente inversabile
Exista sau nu inel (finit sau infinit) cu exact 5 elemente inversabile? Dar cu 21?
"Greu la deal cu boii mici..."
-
Alexandru Chirvasitu
- Euclid
- Posts: 47
- Joined: Sat Oct 06, 2007 4:53 pm
Dacă \( \mathbb{F}_q \) e corpul cu \( q \) elemente, atunci \( \mathbb{F}_4\times\mathbb{F}_8 \) are \( 21 \) de elemente inversabile.
O generalizare a celeilalte probleme, cea cu \( 5 \) (nu o demonstrez; îi las şi pe alţii să se distreze
):
Un număr prim impar este numărul de elemente inversabile ale unui inel dacă şi numai dacă este număr prim Mersenne, adică număr prim de forma \( 2^p-1 \).
(Inelul din enunţul de mai sus e unitar, dar în rest nu se fac alte presupuneri: nu trebuie neapărat să fie comutativ, finit, etc.)
O generalizare a celeilalte probleme, cea cu \( 5 \) (nu o demonstrez; îi las şi pe alţii să se distreze
):Un număr prim impar este numărul de elemente inversabile ale unui inel dacă şi numai dacă este număr prim Mersenne, adică număr prim de forma \( 2^p-1 \).
(Inelul din enunţul de mai sus e unitar, dar în rest nu se fac alte presupuneri: nu trebuie neapărat să fie comutativ, finit, etc.)
-
Dragos Fratila
- Newton
- Posts: 313
- Joined: Thu Oct 04, 2007 10:04 pm
Problema apare in mai multe carti de algebra ca aplicatie la teorema de structura Wedderburn-Artin.
Problema (mai generala).
Un număr impar \( m \) este cardinalul unităţilor unui inel (nu neapărat finit/comutativ) daca şi numai dacă este de forma \( (2^{n_1}-1)...(2^{n_r}-1) \).
Soluţie: Fie \( A \) un inel cu \( |U(A)|=m \). Notăm \( G = U(A) \).
Avem că \( -1\in G \) şi \( |G| \) impar, rezultă că \( -1=1 \), adică 1+1=0 în A.
Considerăm inelul grupal \( R:=\mathbb{F}_2[G] \), unde \( \mathbb{F}_2 \) este corpul cu 2 elemente. Din teorema lui Maschke rezultă că R este semisimplu. Fie \( f:R\to A \) morfismul ce trimite fiecare combinaţie de elemente din G în ea însăşi (am putea spune ca e "incluziunea" - desi nu e injectivă).
Imaginea lui \( f \) este tot semisimplă şi are ca elemente inversabile exact G (într-un subinel mulţimea elementele inversabile nu poate decât să scadă faţă de mulţimea elementele inversabile în inelul mare).
Acum din teorema de structură Wedderburn-Artin rezultă că imaginea lui f este izomorfă cu un produs de matrice peste inele cu diviziune. Inelul Im(f) fiind finit rezultă că inelele cu diviziune sunt finite, deci sunt corpuri (extinderi finite ale lui \( \mathbb{F}_2 \)).
Aşadar \( Im(f)\simeq M_{s_1}(K_1)\times...\times M_{s_r}(K_r) \). Dar dacă vreun \( s_i>1 \) atunci găsim (uşor) în \( M_{s_{i}}(K_i) \) un element de ordin 2, contradicţie cu |G| impar.
Rezultă că \( Im(f)\simeq K_1\times ...\times K_r \) cu fiecare \( K_i \) extindere finită a lui \( \mathbb{F}_2 \). Acum am terminat fiindcă numărul elementelor inversabile din \( K_1\times...\times K_r \) este \( (K_1-1)...(K_r-1) \) şi fiecare \( K_i \) are cardinalul \( 2^{k_i} \) pentru un \( k_i>0 \).
Pentru reciprocă se consideră \( K_i \) extinderi ale lui \( \mathbb{F}_2 \) de grad \( k_i \) şi se ia produsul lor direct.
Problema (mai generala).
Un număr impar \( m \) este cardinalul unităţilor unui inel (nu neapărat finit/comutativ) daca şi numai dacă este de forma \( (2^{n_1}-1)...(2^{n_r}-1) \).
Soluţie: Fie \( A \) un inel cu \( |U(A)|=m \). Notăm \( G = U(A) \).
Avem că \( -1\in G \) şi \( |G| \) impar, rezultă că \( -1=1 \), adică 1+1=0 în A.
Considerăm inelul grupal \( R:=\mathbb{F}_2[G] \), unde \( \mathbb{F}_2 \) este corpul cu 2 elemente. Din teorema lui Maschke rezultă că R este semisimplu. Fie \( f:R\to A \) morfismul ce trimite fiecare combinaţie de elemente din G în ea însăşi (am putea spune ca e "incluziunea" - desi nu e injectivă).
Imaginea lui \( f \) este tot semisimplă şi are ca elemente inversabile exact G (într-un subinel mulţimea elementele inversabile nu poate decât să scadă faţă de mulţimea elementele inversabile în inelul mare).
Acum din teorema de structură Wedderburn-Artin rezultă că imaginea lui f este izomorfă cu un produs de matrice peste inele cu diviziune. Inelul Im(f) fiind finit rezultă că inelele cu diviziune sunt finite, deci sunt corpuri (extinderi finite ale lui \( \mathbb{F}_2 \)).
Aşadar \( Im(f)\simeq M_{s_1}(K_1)\times...\times M_{s_r}(K_r) \). Dar dacă vreun \( s_i>1 \) atunci găsim (uşor) în \( M_{s_{i}}(K_i) \) un element de ordin 2, contradicţie cu |G| impar.
Rezultă că \( Im(f)\simeq K_1\times ...\times K_r \) cu fiecare \( K_i \) extindere finită a lui \( \mathbb{F}_2 \). Acum am terminat fiindcă numărul elementelor inversabile din \( K_1\times...\times K_r \) este \( (K_1-1)...(K_r-1) \) şi fiecare \( K_i \) are cardinalul \( 2^{k_i} \) pentru un \( k_i>0 \).
Pentru reciprocă se consideră \( K_i \) extinderi ale lui \( \mathbb{F}_2 \) de grad \( k_i \) şi se ia produsul lor direct.
"Greu la deal cu boii mici..."