Problema 3 ONM 2008

[Alin Galatan]

Fie \( A \) un inel finit cu \( n \) elemente, cu proprietatea ca ecuatia \( x^{n}=1 \) are solutie unica, \( x=1 \). Sa se arate ca:
(i) \( 0 \) este unicul element nilpotent al lui \( A \).
(ii) exista \( k\in\mathbb{N}^{*} \), \( k\geq 2 \), astfel incat ecuatia \( x^{k}=x \) are \( n \) solutii in \( A \).

Dorel Mihet, Dan Schwarz

[Dragos Fratila]

(i) daca \( x^k=0 \), pentru k>1 atunci \( (1+x^{k-1})^n=1 \) (am folosit faptul ca \( \underbrace{1+..+1}_{n}=0 \)) contradictie cu ipoteza.
(ii) daca \( x^k=x \) pentru un \( x \) atunci \( x^{(k-1)s+1}=x \), pentru orice intreg \( s>0 \). Deci e suficient sa demonstram ca pentru fiecare \( x \) exista \( k_x>1 \) astfel incat \( x^{k_x}=x \) iar apoi punem \( k=\prod_{x\in A}(k_x-1)+1 \).
Pentru \( x=0 \) punem \( k_0=2 \) si pentru \( x=1, k_1=2 \).
Fie \( x\in A-\{0,1\} \). E clar ca exista \( r>0 \) pentru care \( x^{r+1}\in\{x,x^2,\ldots,x^r\} \).
Il alegem pe cel mai mic astfel de \( r \). Avem ca \( x^{r+1}=x^i \) pentru un \( i>0 \). Presupunem ca \( i>1 \). Atunci \( (x^r-x^{i-1})^2=0 \) (aici intervine \( i>1 \)), fapt care, impreuna cu minimalitatea lui \( r \), conduce la o contradictie cu punctul (i). Asadar \( i=1 \) si gata.


Obs: Din (ii) rezulta conform unei teoreme a lui Jacobson ca \( A \) este comutativ.