Calcularea tangentei

[Claudiu Mindrila]

Fie \( ABC \) un triunghi ascutitunghic cu \( AB=AC \) si medianele duse din \( B \) si \( C \) perpendiculare. Sa se demonstreze ca \( \tan{\angle{BAC}=0.75 \)

Claudiu Mindrila

[Bogdan Posa]

Fie \( D , E , S \) mijloacele laturilor \( AB \) , \( AC \) si \( BC \), \( G \) centrul de greutate .
Notam \( GE=a \).
Avem : \( BG=GC=2a \) ; \( BGC \) dreptunghic obtinem ( Pitagora) \( BC=2a \sqrt{2} \) ; \( GS=a \sqrt{2} \) ;\( AG=2a \sqrt{2} \) si in fine \( AC=2a \sqrt{5} \)
Acum....\( A_{ABC}=AB*AC*sin(A)=AD*BC \) ;aflam \( sin(A) \) de aici ,apoi cos si gata
Ps: Draguta problema

[Virgil Nicula]

In general, \( BE\perp CD\ \Longleftrightarrow\ b^2+c^2=5a^2 \) . In cazul triunghiului \( A \) - isoscel, adica \( b=c \) obtinem \( \frac {a}{\sqrt 2}=\frac {b}{\sqrt 5}=\frac {c}{\sqrt 5} \) .

Putem alege fara a restrange generalitatea \( b=c=\sqrt 5 \) si \( a=sqrt 2 \) . Aplicam teorema Pitagora generalizata :

\( a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos A\ \Longrightarrow\ \cos A=\frac 45 \) . Asadar \( \sin A=\frac 35 \) si \( \overline {\underline {\left|\ \tan A=\frac 34\ \right|}} \) . Problema este frumoasa

prin rezultatul surprinzator ca triunghiul \( ABB^{\prim} \) , unde \( B^{\prim} \) este proiectia lui \( B \) pe \( AC \)

are laturile proportionale cu \( 3 \) , \( 4 \) , \( 5 \) . Mai exact, \( \frac {AB}{5}=\frac {B^{\prim}A}{4}=\frac {BB^{\prim}}{3} \) .

Remarca. Faptul ca \( \tan A=\frac 34 \) sugereaza si o demonstratie pur sintetica (nemetrica !). De exemplu, poti folosi lantul de echivalente :

medianele din \( B \) si \( C \) sunt perpendiculare \( \Longleftrightarrow \) \( G \) apartine cercului de diametru \( [BC] \) \( \Longleftrightarrow \) \( G \) este incentrul \( \triangle ABS \) ,

unde \( S \) este proiectia lui \( B \) pe \( AC \) \( \Longleftrightarrow \) \( GA=BC\ \Longleftrightarrow\ 3\cdot AH=4\cdot BC \) \( \Longleftrightarrow \) \( 6\cdot HL=BC \Longleftrightarrow 2\cdot LT=BC \) ,

unde \( L\in BC \) , \( AL\perp BC \) si \( T \) este simetricul lui \( G \) fata de \( BC \) . Cu alte cuvinte, pe segmentul \( [\overline {AGHLT}] \) avem

lantul de rapoarte egale \( \frac {AG}{6}=\frac {GH}{2}=\frac {HL}{1}=\frac {LT}{3}=\frac {BC}{6} \) si diviziunea \( (A,G,H,T) \) este armonica, adica

\( \frac {GA}{GH}=\frac {TA}{TH} \) . De exemplu, din relatia \( \frac {BC}{HA}=\frac 34 \) rezulta \( \frac {2R\cdot \sin A}{2R\cdot \cos A}=\frac 34 \) , adica \( \overline {\underline {\left|\ \tan A=\frac 34\ \right|}} \) .

[quote="Virgil Nicula""]O usoara extindere. Fie \( ABC \) un triunghi ascutitunghic cu medianele duse din \( B \) si \( C \)

perpendiculare. Sa se demonstreze ca \( \underline {\overline {\left|\ \tan A\le \frac 34\ \right|}} \) cu egalitate daca si numai daca \( b=c \) .[/quote]

Remarca. Mandrila, ar trebui sa te "mandresti" ca ai intuit cazul de egalitate. Ti-a lipsit "ambitia" de a duce problema pana la capat,

adica sa epuizezi subiectul pentru a nu permite altora (de exemplu, eu) sa-ti speculeze ideile. Vezi cate proprietati poti descoperi

ale unei situatii particulare ? Nu mai spun ca acestea iti permit mult mai usor sa gasesti o generalizare. Felicitari !