Concursul "Al .Myller" problema 2

[Bogdan Cebere]

Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia \( x^6+x^5+4=y^2. \)

Ioan Cucurezeanu

[Laurian Filip]

\( x^6+x^5+4=y^2 \) | \( \cdot 64 \)
\( 64x^6+64x^5+256=(8y)^2 \)

Deci \( x^6+x^5+4=y^2 \) implica \( 64x^6+64x^5+256=z^2 \)

Pentru \( x \geq 3 \):
\( (8x^3+4x^2-x)^2=64x^6+64x^5-8x^3+x^2<64x^6+64x^5+256 \)
\( (8x^3+4x^2-(x-1))^2=64x^6+64x^5+8x^3+9x^2-x+1> \)
\( >64x^6+64x^5+256 \)

Din cele de mai sus obtinem ca \( 64x^6+64x^5+256 \) este intre doua patrate perfecte consecutive deci nu poate fi patrat perfect.

Pentru \( x \leq -4 \):
\( (8x^3+4x^2-x)^2=64x^6+64x^5-8x^3+x^2>64x^6+64x^5+256 \)
\( (8x^3+4x^2-(x-1))^2=64x^6+64x^5+8x^3+9x^2-x+1< \)
\( <64x^6+64x^5+256 \)

Si in acest caz \( 64x^6+64x^5+256 \) este intre doua patrate perfecte consecutive deci nu poate fi patrat perfect.

Verificand toate numerele ramase \( \lbrace -3,-2,-1,0,1,2} \) gasim solutiile \( x=\lbrace -2,-1,0,2} \)

PS: Sincer sa fiu problema mi se pare destul de aiurea si chiar nu am stiut s-o fac pana am auzit un zvon ca in solutia oficiala se inmultea ceva cu 64.

[mihai++]

Solutia nu e deloc aiurea, deoarece patratul ala nu e ales oarecare, el se obtine din ecuatie !
\( x^6+x^5+4=x^4(x^2+x)+4= \)
\( =x^4(x+1/2)^2-x^4/4+4= \)
\( =(x^3+x^2/2)^2-x^2/4+4= \)
\( =1/4\left[(2x^3+x^2)^2-x^4+16\right]= \)
\( =1/4\left[(2x^3+x^2)^2-(2x^3+x^2)x/2+x^2/16-x^2/16+x^3/2+16\right]= \)
\( =1/4\left[(2x^3+x^2-x/4)^2-x^2/16+x^3/2+16\right] \)
\( =1/64\left[(8x^3+4x^2-x)^2-x^2+8x^3+256\right] \)

[Laurian Filip]

ai scapat un "^" dupa al doilea egal.

Oricum nu mi se pare ca problema e mai ok daca o incepi invers si ajungi acolo. Eu chiar nu as fi vazut ca se poate scrie asa doar uitandu-ma la ea ...

[mihai++]

Da. Nici eu in concurs nu m-am gandit, dar puterea a 6-a iti indica ca e un patrat, iar a 5-a indica un trinom la patrat. Oricum a fost cea mai grea de la clasa a 9-a!