Fie \( AD \) înălţimea triunghiului ascuţitunghic \( ABC \) . Considerăm mulţimea \( M \) a punctelor \( X\in(AD) \) cu proprietatea că \( m(\hat{ABX}) =m(\hat{ACX}) \).
a) Să se arate că mulţimea \( M \) este nevidă.
b) Dacă \( M \) conţine cel puţin două elemente, să se demonstreze că mulţimea M conţine o infinitate de elemente.
Cristian Lazăr
Concursul "Al. Myller" problema 3
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Bogdan Cebere
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Nov 04, 2007 1:04 pm
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
a) Fie \( BE \) si \( CF \) celelalte doua inaltimi ale triunghiului si \( H \) ortocentrul sau.
Atunci \( m(\angle{ABH})=90\textdegree-m(\angle{BAE})=90\textdegree-m(\angle{CAF})=m(\angle{ACH}) \).
Deci, \( H \) este un punct ce indeplinsete conditiile din cerinta problemei\( \Rightarrow \) multimea \( M \) are cel putin un element.
b) Sa presupunem ca \( DC>BD \). Fie \( C^\prim \) simetricul lui \( B \) fata de \( D \) si \( X_1\neq X_2\in M \).
Deoarece treiunghiul \( ABC^\prim \) este isosocel, avem \( AB=AC^\prim, m(\angle{BAX_1})=m(\angle{C^\prim AX_1}) \) si \( \bigtriangleup{X_1 AB}\equiv \bigtriangleup{X_1 AC^\prim}(L.U.L.)\Rightarrow m(\angle{AC^\prim X_1})=m(\angle{ABX_1})=m(\angle{ACX_1})\Rightarrow \)patrulaterul \( ACC^\prim X_1 \) este inscriptibiL\( \Rightarrow m(\angle{X_1BC})=m(\angle{X_1C^\prim B})=m(\angle{DAC})=90\textdegree-m(\angle{ACB})\Rightarrow BX_1\perp AC\Rightarrow X_1= \)ortocentrul triunghiului \( ABC(H) \). Analog, \( X_2=H=X_1 \), contradicitie\( \Rightarrow C=C^\prim \Rightarrow \bigtriangleup{ABC} \) isoscel.
Se arata usor ca orice punct \( X \)am lua pe segmentul \( (AD) \), \( m(\angle{ABX})=m(\angle{ACX})\Rightarrow M=(AD) \).
Atunci \( m(\angle{ABH})=90\textdegree-m(\angle{BAE})=90\textdegree-m(\angle{CAF})=m(\angle{ACH}) \).
Deci, \( H \) este un punct ce indeplinsete conditiile din cerinta problemei\( \Rightarrow \) multimea \( M \) are cel putin un element.
b) Sa presupunem ca \( DC>BD \). Fie \( C^\prim \) simetricul lui \( B \) fata de \( D \) si \( X_1\neq X_2\in M \).
Deoarece treiunghiul \( ABC^\prim \) este isosocel, avem \( AB=AC^\prim, m(\angle{BAX_1})=m(\angle{C^\prim AX_1}) \) si \( \bigtriangleup{X_1 AB}\equiv \bigtriangleup{X_1 AC^\prim}(L.U.L.)\Rightarrow m(\angle{AC^\prim X_1})=m(\angle{ABX_1})=m(\angle{ACX_1})\Rightarrow \)patrulaterul \( ACC^\prim X_1 \) este inscriptibiL\( \Rightarrow m(\angle{X_1BC})=m(\angle{X_1C^\prim B})=m(\angle{DAC})=90\textdegree-m(\angle{ACB})\Rightarrow BX_1\perp AC\Rightarrow X_1= \)ortocentrul triunghiului \( ABC(H) \). Analog, \( X_2=H=X_1 \), contradicitie\( \Rightarrow C=C^\prim \Rightarrow \bigtriangleup{ABC} \) isoscel.
Se arata usor ca orice punct \( X \)am lua pe segmentul \( (AD) \), \( m(\angle{ABX})=m(\angle{ACX})\Rightarrow M=(AD) \).