Fie a, b \( \in \) \( \math{R*} \) si functia f:R\( \rightarrow \)[0,\( \infty \)), cu proprietatea:
f(x+a+b)+f(x)=f(x+a)+f(x+b), pentru orice x\( \in \) \( \math{R} \).
Daca \( \frac{a}{b} \)\( \in \)\( \math{R} \)\ \( \math{Q} \) exista functii neperiodice ce verifica ecuatia data?
exemplu de functie neperiodica
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
Fie M={ma+nb|m,n \( \in \math{Z} \)}
Presupunem ca:
\( m_1 a+n_1 b=m_2 a+n_2 b \Rightarrow (m_1 - m_2)a=(n_2 -n_1)b \Rightarrow m_1=m_2 \) si \( n_1=n_2 \Rightarrow \) pentru orice x din M exista m, n unice astfel incat x=ma+nb.
1) multimea M este numarabila
2) multimea \( \math{R} \) este nenumarabila
\( \Rightarrow \) M\R este nevida.
Definim functia in felul urmator:
1) daca x\( \in \)M atunci m, n sunt unice astfel incat x=ma+nb si f(x)=f(ma+nb)=|m|+|n|
2) daca x\( \in \)R\M atunci f(x)=0
Functia verifica conditiile din enunt (0+0=0+0 si |m+1|+|n+1|+|m|+|n|=|m+1|+|n|+|m|+|n+1|)
Aratam ca f nu este periodica. Presupunem prin reducere la absurd ca f este periodica de perioada t\( \not= \)0:
Cazul I
t \( \in \) M \( \Rightarrow \) t=pa+qb
f(2t)=f(t) \( \Rightarrow \) |2p|+|2q|=|p|+|q| \( \Rightarrow \) p=q=0 \( \Rightarrow \) t=0, contradictie.
Cazul II
t \( \notin \) M
Fie x\( \in \) M-{0}
\( \Rightarrow \) f(x+t)=f(x)\( \not= \)0 \( \Rightarrow \) x+t \( \in \) M \( \Rightarrow \) exista y\( \in \) M astfel incat x+t=y \( \Rightarrow \) t=y-x \( \in \) M, contradictie.
Din I, II rezulta ca f nu este periodica.
Presupunem ca:
\( m_1 a+n_1 b=m_2 a+n_2 b \Rightarrow (m_1 - m_2)a=(n_2 -n_1)b \Rightarrow m_1=m_2 \) si \( n_1=n_2 \Rightarrow \) pentru orice x din M exista m, n unice astfel incat x=ma+nb.
1) multimea M este numarabila
2) multimea \( \math{R} \) este nenumarabila
\( \Rightarrow \) M\R este nevida.
Definim functia in felul urmator:
1) daca x\( \in \)M atunci m, n sunt unice astfel incat x=ma+nb si f(x)=f(ma+nb)=|m|+|n|
2) daca x\( \in \)R\M atunci f(x)=0
Functia verifica conditiile din enunt (0+0=0+0 si |m+1|+|n+1|+|m|+|n|=|m+1|+|n|+|m|+|n+1|)
Aratam ca f nu este periodica. Presupunem prin reducere la absurd ca f este periodica de perioada t\( \not= \)0:
Cazul I
t \( \in \) M \( \Rightarrow \) t=pa+qb
f(2t)=f(t) \( \Rightarrow \) |2p|+|2q|=|p|+|q| \( \Rightarrow \) p=q=0 \( \Rightarrow \) t=0, contradictie.
Cazul II
t \( \notin \) M
Fie x\( \in \) M-{0}
\( \Rightarrow \) f(x+t)=f(x)\( \not= \)0 \( \Rightarrow \) x+t \( \in \) M \( \Rightarrow \) exista y\( \in \) M astfel incat x+t=y \( \Rightarrow \) t=y-x \( \in \) M, contradictie.
Din I, II rezulta ca f nu este periodica.