Cercuri inscrise

[mihai++]

Fie triunghiul oarecare \( ABC \) si un punct \( D\in(BC) \).
\( r \) este raza cercului inscris in triunghiul \( ABC \), \( r_1 \) este raza cercului inscris in triunghiul \( ABD \), \( r_2 \) este raza cercului inscris in triunghiul \( ACD \).
Demonstrati ca \( r_1+r_2>r \).

[Beniamin Bogosel]

Daca notam cu \( S_i,p_i, i=1,2 \) ariile, respectiv semiperimetrele triunghiurilor corespunzatoare lui \( r_i \) si \( S,p \), aria si semiperimetrul lui \( ABC \) avem
\( p>p_1,\ p>p_2 \Rightarrow \frac{1}{p_i}>\frac{1}{p},i=1,2\Rightarrow \frac{S_1}{p_1}+\frac{S_2}{p_2}>\frac{S_1+S_2}{p}=\frac{S}{p}\Rightarrow r_1+r_2>r \).

Gata...