O problema curioasa si simpatica de medie

[Cezar Lupu]

Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) o functie continua astfel incat sa existe \( x_{0}\in (0,1] \) astfel incat \( f(x_{0})=0 \). Aratati ca exista \( \xi\in (0,1) \) asfel incat \( f(\xi)=\int_0^{\xi}f(x)dx \).

[Ciprian Oprisa]

Luam \( x_0 \) astfel incat sa fie cel mai mic, nenul, cu proprietatea data.
Alegem \( g(x)=\int\limits_0^x{f(t)}dt-f(x) \).
Distingem 3 cazuri:

1)\( f(0)<0 \) \( \Rightarrow g(0)=-f(0)>0 \) si \( g(x_0)=\int\limits_0^{x_0}{f(t)}dt \), si cum f nu schimba semnul pana la \( x_0 \), obtinem ca integrala are acelasi semn cu \( f(0) \), adica minus. Cum \( g \) este continua si \( g(0)>0 \), \( g(x_0)<0 \), inseamna ca exista un punct \( \xi \) in care se anuleaza \( \Rightarrow\int\limits_0^{\xi}{f(t)}dt=f(\xi) \)

2)\( f(0)>0 \) se trateaza analog.

3)\( f(0)=0 \).
Daca \( \exists \epsilon>0 \) astfel incat \( f \) sa fie 0 pe \( [0,\epsilon] \), atunci alegerea \( \xi=\epsilon \), rezolva problema.
Altfel putem presupune ca pentru \( \forall\epsilon>0 \), suficient de mic, avem \( f(\epsilon)<0 \)(cazul \( f(\epsilon)>0 \) va fi tratat similar).
Din \( g(x_0)=\int\limits_0^{x_0}{f(t)}dt \), pe aceleasi considerente ca si mai sus obtinem ca \( g(x_0)<0 \), si, evident \( g(0)=0 \).
Presupunem prin absurd ca \( g(x)<0,\forall x\in(0,x_0]\Rightarrow\int\limits_0^x{f(t)}dt<f(x) \).
Din \( f(0)=f(x_0)=0 \) obtinem ca \( f \) are un minim, \( m \), intr-un punct \( x_1 \) si cum \( f \) pastreaza semnul minus pe \( (0,x_0) \) avem ca \( m \) e negativ. Daca inegalitatea de mai sus ar fi adevarata, atunci
\( \int\limits_0^{x_1}{f(t)}dt<f(x_1)=m \).
Dar \( \int\limits_0^{x_1}{f(t)}dt\geq\int\limits_0^{x_1}{m}dt=x_1m\Rightarrow x_1m<m \). Cum insa \( m \) este negativ, prin impartire se schimba semnul inegalitatii, deci \( x_1>1 \), absurd.

[aleph]

Luam \( x_0 \) astfel incat sa fie cel mai mic, nenul, cu proprietatea data.

Dar un astfel de \( x_0 \) poate să nu existe e.g. pentru \( f(x)=x\sin\frac{1}{x} \).

[Laurentiu Tucaa]

Considerand aceeasi functie g problema iese chiar usor .
Deci fie \( x_0\in(0,1] \) a.i. \( f(x_0)=0 \) si functia \( g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R},g(x)=f(x)-F(x) \).
Presupun prin absurd ca \( g(x)>0,\forall x\in(0,1) =>g(x)>0,\forall x\in(0,x_0) \).
Avem \( g(x_0)=-F(x_0)\ge0 =>F(x_0)\le 0 \).
Fie \( h:[0,x_0]\rightarrow\mathbb{R},h(x)=e^{-x}F(x) \).h este functie Rolle deci ii putem aplica teorema lui Lagrange pe \( [0,x_0] \).
Deci exista \( c\in(0,x_0) \) a.i. \( e^{-x_0}F(x_0)=e^{-c}(f(c)-F(c))=e^{-c}g(c) \).
Dar atunci \( g(c)=e^{c-x_0}F(x_0)\le 0 \) contradictie cu presupunerea .
Analog in cazul in care presupunem ca \( g(x)<0,\forall x\in (0,1) \).
In concluzie g se anuleaza in \( (0,1) \) deci exista \( \x a.i. f(\x)=F(\x) \) c.c.t.d.