Fie \( S \) o suprafata difeomorfa cu torul, scufundata in \( \mathbb{R}^3 \). Fie \( \nu \) campul de vectori normal exterior de lungime 1. Forma a doua fundamentala \( A_{x} \) intr-un punct \( x\in S \) este endomorfismul simetric al lui \( T_{x}S \), dat de \( A_{x}(V):=V(\nu) \), derivata campului normal in directia vectorului \( V \). Curbura (scalara) \( \kappa(x) \) este determinantul lui \( A_{x} \).
(a) Aratati ca exista \( x\in S \) cu \( \kappa(x)>0 \).
(b) Folosind rezultatul anterior, aratati ca exista \( x\in S \) cu \( \kappa(x)<0 \).
Admitere SNSB, 2006
Suprafata difeomorfa cu torul
-
Diana Putan
- Euclid
- Posts: 31
- Joined: Wed Sep 26, 2007 11:37 pm
- Location: Bucuresti
Suprafata difeomorfa cu torul
"Dispretuiesc proportiile, masurile, tempo-ul lumii obisnuite. Refuz sa traiesc in lumea obisnuita ca o femeie obisnuita.(...) Nu ma voi conforma lumii. Ma conformez doar mie insami."
-
Sergiu Moroianu
- Arhimede
- Posts: 5
- Joined: Fri Jun 20, 2008 2:54 pm
Demonstratia se imparte in mai multi pasi:
1) Consideram bila inchisa de raza minima care contine suprafata S. Notam cu R raza acestei bile si cu \( S_R \) frontiera bilei adica sfera de raza R, centrata in origine (nu e important unde centram sfera).
2) Va exista un punct de intersectie p intre S si \( S_R \) (altfel, din compacitatea lui S, putem micsora R astfel ca S sa ramana in interiorul lui \( S_R \), ceea ce contrazice alegerea lui R).
3) In punctul de interesectie p, S este tangenta la \( S_R \) (deoarece daca nu ar avea acelasi plan tangent in p, se contrazice faptul ca S e continuta in interiorul sferei). Mai mult, S se afla de aceeasi parte a lui S_R.
4) O lema generala despre suprafete spune ca daca S este tangenta la S' in p, S' are curbura pozitiva in p si S se afla de acceasi parte a lui S' (local langa p) atunci curbura lui S in p este mai mare sau egala cu cea a lui S'.
5) Rezulta ca \( k_S(p)>=k_{S_R}(p)=1/R^2 >0 \).
Pana acum, nu am folosit ca lucram cu o suprafata difeomorfa cu torul.
6) Din teorema Gauss-Bonnet, integrala pe S a curburii este \( 2\pi (2-2g)=0 \) pentru o suprafata difeomorfa cu torul (adica de genul g=1).
7) Intrucat exista un punct cu curbura strict pozitiva, va exista si unul cu curbura strict negativa, altfel integrala nu poate fi 0.
1) Consideram bila inchisa de raza minima care contine suprafata S. Notam cu R raza acestei bile si cu \( S_R \) frontiera bilei adica sfera de raza R, centrata in origine (nu e important unde centram sfera).
2) Va exista un punct de intersectie p intre S si \( S_R \) (altfel, din compacitatea lui S, putem micsora R astfel ca S sa ramana in interiorul lui \( S_R \), ceea ce contrazice alegerea lui R).
3) In punctul de interesectie p, S este tangenta la \( S_R \) (deoarece daca nu ar avea acelasi plan tangent in p, se contrazice faptul ca S e continuta in interiorul sferei). Mai mult, S se afla de aceeasi parte a lui S_R.
4) O lema generala despre suprafete spune ca daca S este tangenta la S' in p, S' are curbura pozitiva in p si S se afla de acceasi parte a lui S' (local langa p) atunci curbura lui S in p este mai mare sau egala cu cea a lui S'.
5) Rezulta ca \( k_S(p)>=k_{S_R}(p)=1/R^2 >0 \).
Pana acum, nu am folosit ca lucram cu o suprafata difeomorfa cu torul.
6) Din teorema Gauss-Bonnet, integrala pe S a curburii este \( 2\pi (2-2g)=0 \) pentru o suprafata difeomorfa cu torul (adica de genul g=1).
7) Intrucat exista un punct cu curbura strict pozitiva, va exista si unul cu curbura strict negativa, altfel integrala nu poate fi 0.